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C'è una ragione per cui è così raro che si possano risolvere equazioni differenziali?

Dopo aver consultato esperti in questo campo, programmatori di diversi rami e insegnanti, abbiamo trovato la risposta al dilemma e l'abbiamo incarnata in questo post.

Soluzione:

Consideriamo la seguente equazione differenziale, molto semplice: $f'(x) = g(x)$ dove $g(x)$ è una funzione data. La soluzione è, ovviamente, , $f(x) = ´int g(x) dx$ Quindi, per questa specifica equazione, la domanda che state ponendo si riduce alla domanda "quali funzioni semplici hanno antiderivate semplici". Alcuni esempi famosi (come $g(x) = e^{-x^2}$) mostrano che anche espressioni dall'aspetto semplice possono avere antiderivate che non possono essere espresse in modo così semplice.

C'è un teorema di Liouville che mette in pratica quanto detto sopra in un contesto preciso: https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra). Per le equazioni differenziali più generali si può essere interessati alla teoria differenziale di Galois.

Confronto tra equazioni differenziali ed equazioni polinomiali. Le equazioni polinomiali sono, probabilmente, molto di più, molto più semplici. Lo spazio delle soluzioni è più piccolo e le operazioni fondamentali che costruiscono le equazioni (moltiplicazione, addizione e sottrazione) sono estremamente semplici e ben comprese. Eppure (e possiamo anche dimostrarlo!) esistono equazioni polinomiali per le quali non è possibile trovare una soluzione analitica. In questo modo, non credo sia una sorpresa che non si possano trovare soluzioni analitiche a quasi tutte le equazioni differenziali. Sarebbe uno shock se ci riuscissimo!


Modifica In effetti, gli utenti @Winther e @mlk hanno notato che le Equazioni Polinomiali sono in realtà "incorporate" in una sottosezione molto piccola delle Equazioni Differenziali. Vale a dire, le Equazioni Differenziali Ordinarie Lineari Omogenee a Coefficiente Costante, che assumono la forma

$${c_ny^{(n)}(x) + c_{n-1}y^{(n-1)}(x) + .+ c_1y^{(1)}(x) + c_0y(x) = 0}$$

La soluzione di tale ODE utilizzerà infatti le radici del polinomio:

$${c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + .+ c_1x + c_0 = 0}$$

Il punto da sottolineare è che le equazioni differenziali di questa forma sono chiaramente solo una minuscolo sottosezione di tutte le possibili equazioni differenziali - dimostrando che sia lo spazio delle soluzioni delle equazioni differenziali è "molto, molto più grande" delle Equazioni Polinomiali e già, anche per una sottosezione così piccola - cominciamo a fare fatica (poiché ogni Equazione Polinomiale che non possiamo risolvere analiticamente corrisponderà ad una ODE che siamo costretti a (a) approssimare la radice e usarla o (b) lasciare la radice in forma simbolica)!


Un'altra cosa da notare è che la risoluzione di equazioni in Matematica è, in generale, un'attività che non può essere svolta in modo semplice, non un processo meccanico semplice e piacevole. La maggior parte delle equazioni che possiamo risolvere di solito richiede la costruzione di metodi basati sullo sfruttamento di qualche bel trucco. Tornando alle equazioni polinomiali, la formula quadratica deriva dal completamento del quadrato! Il completamento del quadrato è solo un trucco elegante, e usandolo in un caso generale abbiamo costruito una formula. Accade una cosa simile nelle equazioni differenziali: si può trovare una soluzione usando un trucco elegante e poi applicare questo trucco a un caso generale. Non è che questi metodi o formule vengano dal nulla: non è un processo facile!

L'ultima cosa da menzionare riguarda specificamente le equazioni differenziali: come matematici, abbiamo a che fare regolarmente solo con un sottoinsieme molto piccolo di tutte le possibili funzioni analitiche. ${sin(x),cos(x),e^x,x^2}$..tutte le belle funzioni analitiche di cui abbiamo fornito i simboli. Ma questo è solo un piccolo elenco! Ci sarà un onnipotente infinito di possibili funzioni analitiche, quindi non c'è da sorprendersi che la soluzione di un'equazione differenziale non possa essere riscritta in termini del nostro piccolo e patetico elenco.

Le funzioni computabili sono rare

Quando si enunciano i problemi matematici, di solito li si enuncia in termini di funzioni elementari, ma certamente computabili perché sono le uniche che sappiamo scrivere in uno spazio finito!

Poiché il nostro cervello è in grado di concettualizzare esplicitamente solo le funzioni computabili, abbiamo una tendenza innata a pensare a queste funzioni e ad attribuire loro una centralità nel mondo dei numeri. Quando si legge della diagonalizzazione, si è tentati di pensare: "I numeri non calcolabili sono una tale seccatura da costruire! Sicuramente devono essere rari!". Ma la realtà è che le funzioni computabili sono la specie infinitamente a rischio! Esistono solo $aleph_0$ funzioni di questo tipo, ma almeno $mathfrak c$ funzioni non computabili.

Ci sono molti modi per passare da un numero/funzione computabile a uno non computabile (la diagonalizzazione è un esempio ben noto, e il problema di Halting è un altro), ma sarei sorpreso se qualcuno riuscisse a nominare un problema "naturale" che inizia con una funzione/numero non computabile e la cui soluzione è computabile (e per "naturale" intendo uno che non sia specificamente escogitato per farlo).

Un'equazione definisce l'intersezione di due funzioni. Se si prendono due funzioni arbitrarie, quali sono le probabilità che queste funzioni si intersechino su una delle funzioni infinitamente probabili che si possono contare? Questo è il motivo per cui i matematici si sorprendono quando un risultato ha una forma chiusa. Di solito solo i problemi banali hanno questa proprietà.

I nomi non vi salveranno

Naturalmente, c'è la questione di decidere cosa sia una "funzione elementare" o una "soluzione analitica". La risposta è: "Non importa". Queste domande sono totalmente irrilevanti. Scegliete un insieme finito di problemi a piacere. Assegniamo dei nomi alle soluzioni di questi problemi, indipendentemente dal fatto che siano calcolabili o meno. Ora abbiamo ampliato notevolmente il campo delle "funzioni elementari". Fantastico!!! Abbiamo anche fatto qualcosa di straordinario.abbiamo aggiunto alcune funzioni non computabili, che dovrebbero davvero aumentare la nostra capacità di risolvere i problemi, giusto? Beh, a meno che non siate straordinariamente fortunati, scommetterei che non è così.

Una funzione non calcolabile arbitraria è spazzatura. È meno che inutile. Sebbene sia una soluzione a un numero infinito di problemi, e quindi espanda la vostra capacità di scrivere "soluzioni in forma chiusa" di un fattore di almeno $alef_0$, scommetterei che è anche non la soluzione (o lontanamente rilevante) di un infinito più grande di problemi. Questi problemi richiedono diversi funzioni non computabili rispetto a quelle che avete nominato.

Ok, ok.vi permetterò di barare. Ti permetterò di aprire la casella degli strumenti e di aggiungere altre funzioni. Non ho detto quante se ne potevano aggiungere prima, ma solo che dovevano essere finito in numero. Avreste potuto aggiungere un googolo di funzioni, non mi interessa. Questa volta sarò davvero generoso. Vi permetterò di aggiungere un infinito numero di funzioni non computabili, fino a $aleph_0$ di esse!

Sicuramente ora possiamo scrivere delle belle soluzioni "algebriche" per la maggior parte dei problemi, dato che abbiamo potenziato la nostra cassetta degli attrezzi di un fattore infinito! Ma purtroppo no. Il nostro infinito non è abbastanza grande. Non importa quanto siate stati bravi a scegliere le funzioni non computabili, ci saranno comunque infiniti problemi la cui soluzione richiede una funzione non computabile che voi non scelto.

Sapete che vi dico? Mi sento generoso. Mi sento in colpa, perché volete che la matematica sia bella e piacevole, e finora sembra solo un enorme pasticcio. Abbiamo cercato di imporre un ordine dando un nome a molte soluzioni che prima non avevano un nome. E finché resteremo sotto il $aleph_0$ possiamo assegnare nomi finiti alla nostra "cassetta degli attrezzi delle funzioni algebriche aumentate". Vi farò un ultimo favore. Vi permetterò di aggiungere tutte le funzioni non calcolabili che volete! Questo dovrebbe risolvere il problema una volta per tutte, giusto?

Beh, no. Ora abbiamo solo scambiato un problema con un altro. Se aggiungiamo semplicemente tutte le funzioni $f: mathbb R rightarrow mathbb R$ alla nostra cassetta degli attrezzi, possiamo effettivamente catturare un numero di funzioni davvero sorprendente, incluse più funzioni non computabili di quante se ne possano immaginare! Ma il problema ora è che non possiamo dar loro un nome! Cioè, noi può nominarli. Possiamo metterli in corrispondenza uno a uno con i reali. Ma, sfortunatamente, questo significa che non possiamo scrivere la maggior parte di essi! Gli unici che possiamo scrivere sono quelli che hanno una rappresentazione finita.e ci sono solo $aleph_0$ di questi.D'oh!

E se vogliamo essere pratici, nessuno leggerà un articolo che usa "funzioni elementari" con nomi lunghi 100 caratteri. Probabilmente 100 "funzioni elementari" sono un limite alla pazienza della maggior parte dei matematici. Purtroppo,100 $ lll aleph_0 lll mathfrak c$. E così va.

Non dimenticare di dare una raccomandazione a questo scritto se ha risolto il tuo problema.



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