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Conteggio dei punti sulla quartica di Klein

Restate sintonizzati perché in questo post troverete la disposizione che cercate.Questo articolo è stato testato dai nostri esperti per garantire la qualità e la veridicità del nostro post.

Soluzione:

$defFF{mathbb{F}}defPP{mathbb{P}}defZZ{mathbb{Z}}$
In tutta questa risposta, scrivere $zeta$ per una radice primitiva di $7$-esima unità. (Il campo in cui si trova $zeta$ varierà da una parte all'altra della risposta).

Un ottimo riferimento per il materiale che sto discutendo qui è costituito dagli appunti di Elkies sulle proprietà teoriche dei numeri della quartica di Klein.

Breve spiegazione di $(ast)$ Insieme $X = { (u:v:w) : u+v+w=0 } sottoinsieme ´PP^2$. Esiste una mappa $phi: K ´a X$ data da $phi(x:y:z) = (x^3 y: y^3 z : x z^3)$. Si tratta di una copertura da $7$ a $1$, ramificata su $(1:-1:0)$, $(0:1:-1)$ e $(-1:0:1)$. Formalmente, questa mappa sembra non essere definita in $(1:0:0)$, $(0:1:0)$ e $(0:0:1)$, ma si può verificare che $phi$ si estende a questi punti e li mappa nei punti di diramazione. Scriverò $X^{circ}$ e $K^{circ}$ per $X$ e $K$ con questi punti speciali rimossi. Si veda anche la sezione 2.1 di Elkies.

Per $(u:1-u:1) ´in X^{circ}$, la preimmagine di $(u:1-u:1)$ è
$$(x:y:1) = left(sqrt[7]{frac{u^3}{1-u}}: frac{u}{x^2}: 1 right).$$

Poiché $phi$ è definito su $FF_q$ per qualsiasi $q$, abbiamo $phi(K(FF_q)) subset X(FF_q)$. Supponiamo ora che $q ´non ´equiv 1 ´bmod 7$. Allora ogni elemento di $FF_q$ ha un'unica radice $7$-esima in $FF_q$, quindi l'equazione visualizzata sopra mostra che $phi$ è biiettivo da $K^0(FF_q)$ a $X^0(FF_q)$. I tre punti mancanti sia in $K$ che in $X$ sono anch'essi definiti su $FF_q$, quindi $phi$ è una biiezione da $X(FF_q) a K(FF_q)$, e $K(FF_q)$ ha chiaramente $q+1$ punti.

Interpretazione dei moduli La mappa $phi$ è il quoziente di $K$ per l'automorfismo $(x:y:z) mapsto (zeta x: zeta^2 y: zeta^4 z)$. Questo automorfismo di ordine $7$ deve corrispondere all'elemento $sinistra( begin{smallmatrix} 1 & 1 0 & 1 end{smallmatrix} right)$ in $PSL_2(FF_7) cong mathrm{Aut}(K)$. Quindi $X$ è il quoziente di $K$ per $left( begin{smallmatrix} 1 & ast 0 & 1 end{smallmatrix} right)$ e vediamo che $X = X_1(7)$. Quindi la domanda che richiede un'interpretazione modulare è perché $X(7)(FF_q) ´a X_1(7)(FF_q)$ è biiettivo per $q ´non equiv 1 bmod 7$. (In realtà, c'è un piccolo errore qui! Vedi sotto).

Penso di poter rispondere, ma la mia risposta richiede che siate a vostro agio con gli schemi di gruppo. In questa risposta ignorerò le cuspidi delle curve modulari.

Scriviamo $Z/7$ per lo schema di gruppo ciclico di ordine $7$ e $mu_7$ per lo schema di gruppo di $7$-esime radici dell'unità. Quindi $Z#(ZZ/7)(FF_q) =7$ ma $Z# mu_7(FF_q) = GCD(q-1,7)$. Allora (vedi Elkies, sezione 4.1), $X(7)(FF_q)$ parametrizza le curve ellittiche $E$ definite su $FF_q$ con un isomorfismo scelto $E[7] cong ZZ/7 times mu_7$, compatibile con l'accoppiamento di Weil. Nel frattempo, $X_1(7)(FF_q)$ parametrizza $E$ definito su $FF_q$ con un incorporamento scelto di $ZZ/7$ in $E[7]$. Si veda anche questa risposta di Pete Clark.

Dobbiamo dimostrare quanto segue:

Sia $q ´non ´equiv 1 ´bmod 7$. Data una curva ellittica $E$ definita su $FF_q$ e un'incorporamento $ZZ/7 a E[7]$, c'è esattamente un modo per estendere questo incorporamento a un isomorfismo $ ´ZZ/7 ´times ´mu_7 ´a E[7]$, compatibile con l'accoppiamento di Weil.

Schema di prova: Assumo $q neq 7$. Consideriamo l'azione $F$ di Frobenius su $E[7]$. Questa è data da una matrice $2 ´mille 2$ con determinante $q$. Dal momento che $ZZ/7$ si incorpora in $E[7]$, uno degli autovalori di $Phi$ è $1$. Poiché $q ´non ´equiv 1 ´bmod 7$, otteniamo che $Phi$ è diagonalizzabile con autovalori $1$ e $q$. Lo spazio degli autovalori per $q$ è isomorfo a $mu_7$. Quindi $E[7] ´cong ´ZZ/7 ´molte volte ´mu_7$. Poiché $q ´non ´equiv 1 ´bmod 7$, non ci sono mappe non banali tra $´ZZ/7$ e $´mu_7$, quindi l'isomorfismo è unico fino alla torsione di un automorfismo su ciascun fattore. L'isomorfismo sul fattore $ZZ/7$ ci è dato, e la condizione di accoppiamento di Weil fissa l'isomorfismo sul fattore $mu_7$. $quadro$

Errore corretto Dalla sezione 4.2 di Elkies ho appreso che questo non è del tutto corretto! La mappa $K a X$ non corrisponde a dimenticare il fattore $mu_7$ di $E[7]$, ma a dimenticare il fattore $ZZ/7$! Quindi $X$ è in realtà lo spazio dei moduli delle curve $E$ con un'iniezione $mu_7$ in E[7]$. Si dà il caso che sia $X$ che $X_1(7)$ siano isomorfi a $PP^1$, ma a livello di moduli, dovremmo prendere una curva $E$ con un'iniezione $mu_7 a a E[7]$ e sollevarla a un isomorfismo $ZZ/7 ´times mu_7 cong E[7]$. Fortunatamente, lo stesso argomento funziona per questo.

Quindi, è sufficiente capire cosa fanno i $b_q$. Il link precedente indica che la curva ellittica $E/mathbf{Q}$ in questione ha $mathrm{End}(E) = mathbf{Z}[frac{1+sqrt{-7}}{2}]$, cioè è una curva CM. La mia osservazione di cui sopra sulle progressioni quadratiche è poi spiegata da questo articolo (pagina 1, nientemeno!)

In questo caso, però, sembra possibile ottenere una descrizione ancora più esplicita.

Passo a un'altra risposta per discutere le relazioni con $X_0(49)$ e la moltiplicazione complessa. Anche in questo caso, gli appunti di Elkies sono un buon riferimento e $zeta$ è una radice primitiva $7$-esima dell'unità.

Sia $Delta subset PSL_2(FF_7)$ il gruppo delle matrici diagonali. Sia $Y = Delta backslash K$. Allora $Y$ è la curva modulare corrispondente al sottogruppo aritmetico $sinistra( begin{smallmatrix} a & 7b 7c & d end{smallmatrix} right)$. Coniugando con $sinistra( begin{smallmatrix} 7 & 0 0 & 1 end{smallmatrix} right)$ questo gruppo diventa $sinistra( begin{smallmatrix} a & b 49c & d end{smallmatrix} right)$ che è $Gamma_0(49)$, quindi $Y cong X_0(49)$. A livello di moduli, quando il nostro campo base contiene una radice dell'unità $7$-esima, $K$ parametrizza curve ellittiche con una base per $E[7]$ (fino a una condizione sul determinante) e $Y$ parametrizza curve con uno splitting scelto di $E[7]in due sottogruppi ciclici. Si veda il penultimo paragrafo della sezione 4.2 di Elkies per spiegare perché $Y cong X_0(49)$ dal punto di vista dei moduli.

Possiamo anche usare questa prospettiva per spiegare perché $Y$ ha CM di $(1+sqrt{-7})/2$.
La curva $Y$ ha genere $1$; trasformiamola in una curva ellittica scegliendo come origine la cuspide a $infty$. Sia $y in Y$ e sia $z in K$ una preimmagine di $y$. Scriviamo $pi$ per la mappa $K in Y$. Definire
$$alfa(y) = ´pi ´sinistra( ´inizio{pmatrix} 1 & 1 ´0 & 1 ´fine{pmatrix} z ´destra)+ ´pi ´sinistra( ´inizio{pmatrix} 1 & 2 ´0 & 1 ´fine{pmatrix} z ´destra)+ ´pi ´sinistra( ´inizio{pmatrix} 1 & 4 ´0 & 1 ´fine{pmatrix} z ´destra)$$
e
$$beta(y) = pi left( begin{pmatrix} 1 & 3 0 & 1 end{pmatrix} z right)+ pi left( begin{pmatrix} 1 & 5 0 & 1 end{pmatrix} z right)+ pi left( begin{pmatrix} 1 & 6 0 & 1 end{pmatrix} z right)$$
dove le somme sono nella legge di gruppo su $Y$.

Si noti che sostituendo $z$ con una diversa preimmagine $$left( begin{smallmatrix} a & 0 0 & a^{-1} end{smallmatrix} right) z$ si trasformerebbe semplicemente $$alpha(y)$ in
$$pi left( begin{pmatrix} a & a^{-1} 0 & a^{-1} end{pmatrix} z right)+ pi left( begin{pmatrix} a & 2 a^{- 1} ´0 e a^{-1} ´fine{pmatrix} z ´destra)+ pi ´sinistra( begin{pmatrix} a & 4 a^{-1} ´0 e a^{-1} ´fine{pmatrix} z ´destra)=$$
$$$pi left( begin{pmatrix} 1 & a^{-2} 0 & 1 end{pmatrix} z right)+ pi left( begin{pmatrix} 1 & 2 a^{- 2} 0 & 1 end{pmatrix} z right)+ pi left( begin{pmatrix} 1 & 4 a^{-2} 0 & 1 end{pmatrix} z right) = alpha(y). $$
Per arrivare alla seconda riga, abbiamo usato che $Pi$ è il quoziente di $Delta$, quindi $Pileft( left( begin{smallmatrix} a & 0 0 & a^{-1} end{smallmatrix} right) w right) = pi(w)$. Quindi $alfa$ e $beta$ sono endomorfismi ben definiti di $Y$.

Affermiamo che $alpha+beta+1=0$ e $alpha beta = beta alpha = 2$. Quindi $alpha$ e $beta$ generano un anello quadratico, con $alpha$ e $beta$ corrispondenti a $frac{-1 pm sqrt{-7}}{2}$.

Verifichiamo che $alfa+beta+1=0$: Scrivendo questo, dobbiamo dimostrare che
$$$sum_{b=0}^6 pileft( begin{pmatrix} 1 & b 0 & 1 end{pmatrix} z right) =0.$$

Scrivere $psi$ per la mappa $Y ´a X_0(7)$ che dimentica uno dei due sommatori in cui $Y$ si decompone $E[7]$. Allora la somma di cui sopra è $sum_{psi(y')= psi(y) } y'$. Ma $X_0(7)$ ha genere $0$, quindi la classe di $sum_{psi(y') = w} y'$ è indipendente dalla scelta del punto $w in X_0(7)$, e prendendo $y$ come cuspide si dimostra che questo valore costante è $0$.

Abbozziamo la verifica di $alpha beta = beta alpha = 2$. Moltiplicando entrambi i lati, dobbiamo dimostrare che
$$3 y + sum_{b=1}^6 pileft( begin{pmatrix} 1 & b 0 & 1 end{pmatrix} z right) = 2y.$$

Annullando $2y$ da entrambi i lati, si ottiene la verifica precedente.

Naturalmente, tutto questo non fa altro che utilizzare il fatto che $mathbb{Z}[zeta]agisce sul Jacobiano di $K$ e che $zeta+zeta^2+zeta^4 = frac{-1+sqrt{-7}}{2}$, ma credo sia divertente vederlo in termini di matrici.

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