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Curve normali razionali e rette tangenti

Il nostro gruppo di scrittura cerca da tempo di risolvere i tuoi dubbi, condividiamo con te le soluzioni quindi vogliamo esserti di grande supporto.

Soluzione:

Modifica. Questa risposta è stata modificata per rispondere a una caratteristica positiva, come segnalato da @FelipeVoloch. Il risultato è valido tranne nella caratteristica $2$. Nella caratteristica $2$, il risultato fallisce.

Sia $k$ un campo algebricamente chiuso. Sia $C$ una curva liscia e connessa di $k$. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n+1$, in modo che $mathbb{P}V$ sia $k$-isomorfo a $mathbb{P}^n_k$. Per enunciare con precisione il risultato, ricordiamo alcune definizioni relative ai sistemi lineari su curve lisce.

Definizione 1. A Sistema lineare $V$ su $C$ è una coppia $(mathcal{L},phi_0)$ di un modulo $mathcal{O}_C$ invertibile, $mathcal{L}$, e un omomorfismo di moduli $mathcal{O}_C$, $$phi_0:V^veeotimes_k mathcal{O}_Ca mathcal{L}.$$

Definizione 2. Per ogni intero $r´geq 0$, la formula di parti principali di ordine $$leq r$ è il funtore esatto $k$-lineare, $$mathcal{P}^r_{C/k}:mathcal{O}_C-underline{text{mod}} a mathcal{O}_C-underline{text{mod}}, mathcal{E} mathcal{E}, mathcal{O}_{C{E} C}/mathcal{I}_{Delta}^{1,*}(mathcal{E}_2^*(mathcal{E})otimes mathcal{O}_{C{E}k C}/mathcal{I}_{Delta}^{r+1}),$$ rispetto alle proiezioni, $$text{pr}_i:C{E}_{text{Spec} k} C ´a C, i=1,2,$$ e lo sheaf ideale della diagonale, $mathcal{I}_{Delta}subset mathcal{O}_{Ctimes_k C}.$

Esiste un filtraggio di $mathcal{O}_{Ctimes_k C}/mathcal{I}_Delta^{r+1}$ mediante le potenze di $mathcal{I}_Delta$. I pezzi graduati associati sono isomorfi a $Delta_*Omega_{C/k}^{{otimes r}$, e sono piatti per le proiezioni. Pertanto, la filtrazione indotta su $mathcal{P}^r_{C/k}(mathcal{E})$ dà una sequenza naturale di brevi sequenze esatte, $$ 0a mathcal{E}otimes_{mathcal{O}_C}Omega_{C/k}^{otimes r} xrightarrow{q_r(mathcal{E})} mathcal{P}^r_{C/k}(mathcal{E}) xrightarrow{p^r_{r-1}(mathcal{E})} mathcal{P}^{r-1}_{C/k}(mathcal{E}) ´a 0,$ per $r=1,2,dots$ Questo è discusso negli esercizi di ACGH, nel primo volume di Illusie "Complexe Cotangent et Deformations", ecc. In particolare, l'adiacenza di pullback e pushforward, combinata con gli isomorfismi naturali $$text{pr}_2^*(V^veeotimes_k mathcal{O}_C) cong V^veeotimes_k mathcal{O}_{Ces_k C} cong text{pr}_1^*(V^veeotimes_k mathcal{O}_C),$$ definiscono uno splitting naturale $$sigma_r: V^veeotimes_k mathcal{O}_C mathcal{P}^r_{C/k}(V^veeotimes_k mathcal{O}_C)$$ della composizione suriettiva $p^r_0(mathcal{E}) = p^1_0(mathcal{E})circ dots circ p^r_{r-1}(mathcal{E})$.

Definizione 3. Per ogni sistema lineare $V$ su $C$, per ogni intero $r=0,dots,n$, la sistema associato di grado-$r$ principale è la composizione, $$V^veeotimes_k mathcal{O}_C xrightarrow{sigma_r} mathcal{P}^r_{C/k}(V^veeotimes_k mathcal{O}_C) xrightarrow{mathcal{P}^r(phi_0)} mathcal{P}^r_{C/k}(mathcal{L}).$$
Per ogni sottoschema aperto $U$ di $C$, il sistema lineare $(mathcal{L},phi_0)$ è getto di $r$ generato globalmente su $U$ se $phi_r|_U$ è proiettivo su $U$. In questo caso, il morfismo associato per i piani $r$ osculanti è l'unico morfismo $k$, $$f_{U,r}:U a text{Grass}(r+1,V)$$ tale che il pullback da $f_{U,r}$ dello sheaf quoziente di rango universale $r+1$ di $V^veeotimes_k mathcal{O}_{text{Grass}(r,V)}$ è uguale a $phi_r|_U$.

Se $U$ è denso in $C$, allora per il criterio valutativo della correttezza, il morfismo $f_{U,r}$ si estende in modo univoco a un morfismo $f_r$ su tutto $C$, il pullback per $f_r$ del quoziente universale è un sottofascio di $mathcal{P}^r_{C/k}(mathcal{L})$ il cui cokernel è uno sheaf coerente alla torsione. Il punti di ramificazione del sistema lineare sono proprio i punti nel supporto di questi covoni di torsione, e i punti sequenza di ramificazione in ogni punto di ramificazione determina la lunghezza del gambo di questo covone di torsione. Sia $q$ un punto $k$ di $C$.

Ipotesi 4 Il gambo di $phi_0$ in $q$ è iniettivo, $$(phi_0)_q:V^vee hookrightarrow mathcal{L}_q. $$

Esiste un filtraggio di $mathcal{L}_q$ per potenze dell'ideale massimo $mathfrak{m}_{C,q}$, e l'immagine inversa è un filtraggio di $V^vee$ per sottospazi $k$. Per ipotesi, si tratta di un filtraggio limitato. Denotando con $t$ un generatore dell'ideale principale $mathfrak{m}_{C,q}$, esiste una basi ordinata di $k$ di $V^vee$, $$(x_0,dots,x_n):k^{oplus n} xrightarrow{cong} Esiste una sequenza di numeri interi non negativi $$0leq alpha_0leq alpha_1 leq dots leq alpha_n$ ed esiste una sequenza $(u_0, u_1,dots,u_n)$ di elementi invertibili, $$u_i in 1 + mathfrak{m}_{C,q},$$ tale che per ogni $i=0,dots,n$, il germe $$phi_{q,i}: = (phi_0^*x_i)_q in mathcal{L}_q,$$ è uguale a $t^{i+alpha_i}u_i$.

Definizione 5. Il sequenza di ramificazione di $(mathcal{L},phi_0)$ a $q$ è la sequenza di interi non negativi $(alpha_0,dots,alpha_n)$. Il indice di ramificazione in corrispondenza di $q$ è la somma di $alpha_0+punti + alpha_n$.

Proposizione 6. Il sistema lineare è generato globalmente su un intorno aperto di $q$ se e solo se è generato globalmente a getto di $0$ su un intorno aperto di $q$ se e solo se $alfa_0$ è uguale a $0$. In questo caso, il morfismo $k$ è nonramificato su un intorno aperto di $q$ se e solo se il sistema lineare è $1$-jet globalmente generato su un intorno aperto di $q$ se e solo se anche $alpha_1$ è uguale a $0$. Per $r´geq 2$, se la caratteristica di $k$ non divide $r! $, allora $(phi_r)_q$ è proiettivo se e solo se il seguente germe è un generatore del modulo di rango $1$, $$text{Wronski}^r(phi_{q,0},dots,phi_{q,r};t):= $$$phi_{q,0}wedge frac{dphi_{q,1}}{dt} ´wedge dots wedge frac{d^rphi_{q,r}}{dt^r} cdot (dt)^{r(r+1)/2} in bigwedge^{r+1}_{mathcal{O}_C}mathcal{P}^r_{C/k}(mathcal{L})_q,$$ e questo vale se e solo se $alpha_0=dots = alpha_r=0.$ Se la caratteristica divide $r!$, allora il sistema lineare non è generato globalmente da $r$-jet.

Prova. Si tratta del solito argomento con il Wronskiano dei germi $phi_{q,0},dots,phi_{q,r}$. In particolare, modulo $mathfrak{m}_{C,q}bigwedge^{r+1}mathcal{P}^r_{C/k}(mathcal{L})_q$, l'elemento Wronskiano è congruente a $r! t^{alpha_0+dots+alpha_r}phi_{q,0}^{r+1} dt^{r(r+1)/2}$. Questo è non nullo se e solo se sia la caratteristica non divide $r!$, sia se $alfa_0+punti+alfa_r$ è uguale a $0$. QED

Nota bene. Se la caratteristica è uguale a $2$, allora sempre $(phi_2)_q$ non è proiettivo.

Proposizione 7. Si supponga che la caratteristica di $k$ non sia $2$ e si assuma che $alpha_2$ sia uguale a $0$. Allora per il sottospazio $1$-dimensionale $k$ parametrato da $f_0(q)$, rispettivamente per il sottospazio $2$-dimensionale $Ssubset V$ parametrato da $f_1(q)$, il sottospazio $L$ è uguale all'unico sottospazio $k$ di $S$ che è annichilito da ogni elemento dell'immagine della derivata $d_q f_1$ considerata come una trasformazione lineare $k$ in $T_{[S]}testo{Grass}(2,V)=testo{Hom}_k(S,V/S).$

Prova La verifica è più semplice rispetto alla base di cui sopra. Fino alla ridefinizione dell'elemento unificante, assumiamo che $phi_{q,1}$ sia uguale a $tphi_{q,0}$. Sia $(e_0,dots,e_n)$ la base ordinata di $k$ per $V$ che è duale alla base ordinata di $k$ $(x_0,dots,x_n)$ per $V^vee$. Allora $L$ è $testo{span}(e_0)$ e $S$ è $testo{span}(e_0,e_1)$. La derivata di $f_1$ a $q$ invia il vettore base $d/dt$ di $T_q C$ alla trasformazione lineare $k$, $$d_q f_1(d/dt): Sa a V/S,$$ $e_0 mapsto -sum_{r=2}^n sinistra((r+alfa_r-1)u_r + t(du_r/dt)right)t^{r+alfa_r}e_r,$$ $$e_1 mapsto sum_{r=2}^n sinistra((r+alfa_r)u_r + t(du_r/dt)right)t^{r+alfa_r-1}e_r. $$ Modulo $mathfrak{m}_{C,q}$, l'intervallo di $e_0$ si trasforma in $0$. Sotto l'ipotesi che $alpha_2$ sia uguale a $0$ e che la caratteristica non sia uguale a $2$, l'immagine di $e_1$ è non zero modulo $mathfrak{m}_{C,q}$. Pertanto, l'annichilatore è proprio lo spane di $e_0$, cioè è $L$. QED

Corollario 8. Per i germi $(C,q)$ e $(C',q')$ di curve lisce appuntite $k$, per i sistemi lineari $V$ $(mathcal{L},phi_0)$, risp. $(mathcal{L}',phi'_0)$, su questi germi, se la caratteristica non è uguale a $2$, se ogni sistema lineare è generato globalmente da $2$ getti, e se il germe dell'immagine del morfismo nonramificato $f_1$ a $f_1(q)$ è uguale al germe dell'immagine del morfismo nonramificato $f'_1$ a $f'_1(q')$ come curve chiuse in $testo{Grass}(2, V)$, allora il germe dell'immagine del morfismo nonramificato $f_0$ in $f_0(q)$ è uguale al germe dell'immagine del morfismo nonramificato $f'_0$ in $f'_0(q')$ come curve chiuse in $mathbb{P}(V)$.

In particolare, finché la caratteristica non è uguale a $2$, i germi delle curve normali razionali sono generati globalmente da $2$ getti. Pertanto, se le curve razionali normali a punta di $1$ in $Mathbb{P}^n$ hanno germi uguali in $Testo{Grass}(2,V)$, allora le curve a punta in $Mathbb{P}^n$ sono uguali.

Altri controesempi in caratteristica $2$. Come ha fatto notare Felipe Voloch, se $testo{char}(k)$ è uguale a $2$, allora la curva razionale normale non è determinata in modo univoco dall'insieme delle rette tangenti. Ecco una classificazione dei controesempi in $mathbb{P}^n$ con $n$ uguale a $2m+1$, un intero dispari $gemello 3$. La classificazione in dimensione pari è simile.

Consideriamo il rotolo che è l'immagine della seguente immersione chiusa di $k$ schemi, $$tau:mathbb{P}^1times mathbb{P}^1 to mathbb{P}^{2m+1},$$$tau^*[x_0,x_1,dots,x_{2e},x_{2e+1},dots,x_{2m},x_{2m+1}] = $$ $$[s^mu,s^mv,dots,s^{m-e}t^eu,s^{m-e}t^ev,dots,t^mu,t^mv],$$ dove $(s,t)$, risp. $(u,v)$, formano una base ordinata di $k$ per $H^0(mathbb{P}^1times mathbb{P}^1,text{pr}_1^*mathcal{O}(1))$, risp. for $H^0(mathbb{P}^1times mathbb{P}^1,text{pr}_2^*mathcal{O}(1)).$

Per ogni punto $k$ di $sistema$[a,b,c,d]$ di $textbf{PGL}_2$, cioè $ad-bcneq 0$, sia $C_{a,b,c,d}$ la curva in $mathbb{P}^1times mathbb{P}^1$ con equazione di definizione, $$g(s,t,u,v) = (au^2+bv^2)t-(cu^2+dv^2)s = 0.$$ Poiché $[a,b,c,d]$ varia in $textbf{PGL}_2$, queste sono tutte curve chiuse distinte in $mathbb{P}^1 volte mathbb{P}^1$.

Per ogni punto $k$ di $lambda in mathbb{P}^1$, la fibra $F_{{lambda}:={text{pr}_1^{-1}({lambda})$ è un divisore efficace di Cartier in $mathbb{P}^1times mathbb{P}^1$ che è tangente a $C_{a,b,c,d}$. Pertanto, l'immagine $L_{lambda} = tau(F_{lambda})$ è una linea tangente alla curva razionale normale $tau(C_{a,b,c,d})$. Pertanto, indipendentemente da $(a,b,c,d) in textbf{PGL}_2(k)$, l'insieme delle rette tangenti alla curva normale razionale $tau(C_{a,b,c,d})$ è uguale all'insieme di tutte le rette $tau(text{pr}_1^{-1}({lambda}))$. Poiché l'unione di queste rette è uguale all'immagine di $tau$, l'unica curva razionale normale in $mathbb{P}^{2m+1}$ che ha questo insieme di rette tangenti è una delle curve $tau(C_{a,b,c,d})$ di cui sopra.

In sintesi, l'insieme delle rette tangenti alla curva razionale normale $Csubsetmathbb{P}^n$ di grado $2n+1$ spazza via l'unico scorrimento razionale di superficie $Sigma$ di grado $2m$ e di tipo Hirzebruch $Sigma cong mathbb{P}^1times mathbb{P}^1$ contenente $C$ come divisore di bidegree $(1, 2)$ e la cui proiezione non isomorfa $$C$hookrightarrow Sigmatwoheadrightarrow mathbb{P}^1,$$ è puramente inseparabile. L'insieme di tali divisori in $Sigma$ forma un'orbita fedele $testo{Aut}(mathbb{P}^1)$.

Vorrei suggerire un argomento più semplice di quello di Jason, ma non sono sicuro che funzioni o meno in caratteristica positiva.

Si supponga $n > 2$.
Consideriamo la superficie $S(C)$ spazzata dalle linee tangenti a $C$. È facile vedere che la superficie non è normale, che la sua normalizzazione è isomorfa a $mathbb{P}^1 times mathbb{P}^1$, che la sua mappa verso $mathbb{P}^n$ è data da un sistema lineare (incompleto) $mathcal{O}(1, n-1)$, tale che $C$ è l'immagine della diagonale in $mathbb{P}^1 times mathbb{P}^1$ ed è uguale al luogo singolare della superficie.

Si supponga ora che ogni tangente a $C$ sia anche tangente a $Gamma$. Allora $S(C) ´sottoinsieme S(Gamma)$, e poiché entrambe le superfici sono irriducibili, abbiamo $S(C) = S(Gamma)$. Ma allora $C = Sing(S(C)) = Sing(S(Gamma)) = Gamma$.

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