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Definizione matematica formale del flusso del gruppo di rinormalizzazione

Questa è la risposta più esatta che possiamo darvi, però osservatela attentamente e valutate se si adatta al vostro lavoro.

Soluzione:

Il gruppo di rinormalizzazione (RG) come flusso geometrico (come il flusso di Ricci) è un caso molto particolare del RG, cioè quello corrispondente al modello sigma non lineare (NLSM) in due dimensioni con valori in
caso speciale del RG, cioè quello corrispondente al modello sigma non lineare (NLSM) in due dimensioni con valori in un manifold riemanniano.
Ora la RG è molto più generale e si applica a tutti i tipi di modelli, non solo al NLSM.
Per trovare risposte soddisfacenti alle vostre domande, vi consiglio di capire prima come funziona la RG in generale, specializzandola su un modello più semplice: il campo scalare. Questo è spiegato di seguito. Poi, si guardi alla NLSM e si veda come, in questo caso particolare, il flusso di Ricci emerga dalla RG. Per questa seconda parte, ritengo che i due riferimenti forniti da Igor siano corretti. Devo tuttavia menzionare una fonte comune di confusione riguardo alla RG.
Esistono due RG diverse ma correlate (questa distinzione non è specifica per il campo scalare o per il NLSM, ma vale per tutti i modelli): 1) la
Stueckelberg-Peterman-Gell-Mann-Low (SPGLRG), 2) la più recente RG wilsoniana (WRG). Di seguito, fornisco i dettagli che dovrebbero spiegare la relazione tra i due modelli.
In breve, la WRG è un flusso sullo spazio delle teorie con un cutoff ultravioletto fisso (ad esempio alla scala dell'unità), mentre la SPGLRG riguarda solo le teorie nel continuum, dopo la rimozione del cutoff ultravioletto. Queste teorie del continuo (punti in uno spazio) sono parametrizzate da coordinate (accoppiamenti rinormalizzati). Quando si ridimensiona una teoria di qualche fattore, si cambia il punto e quindi si vorrebbe sapere come cambiano le coordinate. La risposta a questa domanda è l'SPGLRG.

Per quanto posso dire, la risposta di Igor e il secondo riferimento (molto bello) che ha dato di Carfora et al. riguarda solo l'SPGLRG, perché non ho visto la parola "cutoff" menzionata una volta. Penso che il primo riferimento fornito da Nguyen sia il primo posto da cui partire per capire la connessione tra RG e flusso di Ricci (subito dopo aver letto le mie spiegazioni non tecniche qui sotto) perché articola entrambe le RG, la SPGLRG e la WRG, e quindi fornisce un quadro più completo. Un altro riferimento che potrei aggiungere è una recensione scritta da Carfora per i matematici sulla connessione tra RG e flusso di Ricci, disponibile all'indirizzo https://arxiv.org/abs/1001.3595.

Di seguito è riportata la risposta che ho dato a

https://physics.stackexchange.com/questions/372306/what-is-the-wilsonian-definition-of-renormalizability

che contiene più dettagli di quella contenuta nel post di MO citato da J. C.


Questa è un'ottima domanda che, tuttavia, mostra l'entità della confusione che regna sulla rinormalizzazione anche quattro decenni dopo la teoria di Wilson che ha vinto il premio Nobel sull'argomento. Ho risposto essenzialmente alla domanda dell'OP, e molto di più, sulla costruzione di QFT continue nel quadro di Wilson nel mio articolo espositivo "QFT, RG, e tutto il resto, per matematici, in undici pagine", ma in modo molto sintetico (bisogna fare dei calcoli a parte per seguire ciò che viene detto). Permettetemi quindi di fornire maggiori dettagli in merito alla domanda specifica dell'OP. Devo premettere che quello che segue è un "fumetto" sulla rinormalizzazione. Semplificherò eccessivamente le cose ignorando le dimensioni anomale, gli operatori marginali e i termini non locali generati dalla RG. Non troverete dettagli tecnici, ma spero che il quadro concettuale e la struttura logica della rinormalizzazione diventino più chiari.

L'OP ha ragione a sottolineare che nell'ambito delle ODE e dei sistemi dinamici un'equazione del primo ordine può essere eseguita a ritroso nel tempo.
Permettetemi quindi di iniziare ricordando alcuni termini importanti di quell'area.
Consideriamo un'equazione del primo ordine non autonomo ODE della forma
$$
frac{dX}{dt}=f(t,X).
$$

Genera un flusso (morfismo groupoide da coppie di tempi a diffeomorfismi dello spazio delle fasi) che denoterò con $U[t_2,t_1]$ che invia il valore iniziale $X(t_1)$ al valore della soluzione al tempo $t_2$. Soddisfa banalmente $per tutti i t, U[t,t]={rm Id}$ e la proprietà del semigruppo
$$
per tutti i t_1,t_2,t_3, U[t_3,t_2]circ U[t_2,t_1]=U[t_3,t_1] .
$$

Questa situazione dipendente dal tempo va distinta dalla situazione di autonoma caso ODE
$$
frac{dX}{dt}=f(X)
$$

dove $U[t_2,t_1]=U[t_2-t_1,0]=:U[t_2-t_1]$.

Nella RG di Wilson, il tempo è una scala o, più precisamente, $t=-logLambda$ dove il cutoff UV è implementato nello spazio dei momenti da una condizione del tipo $|p|leLambda$ o nello spazio di posizione con $Delta xge Lambda^{-1}=e^t$. La letteratura sulla fisica delle alte energie lavora solitamente in un contesto non autonomo, mentre è essenziale tradurre l'equazione in forma autonoma per una corretta comprensione della RG di Wilson. Quest'ultima ha importato strumenti e concetti dalla teoria dei sistemi dinamici, come punti fissi, manifold stabili e instabili, ecc. È possibile fare qualche contorsione per cercare di dare un senso a questi concetti nel contesto non autonomo, ma si tratta davvero di nozioni congeniali ai sistemi dinamici autonomi.

Lasciate che $mu=:mu_{-infty,infty}$ denota la misura di probabilità corrispondente alla teoria euclidea libera.
Il suo propagatore è
$$
´int phi(x)phi(y) dmu_{-infty,infty}(phi)=angolo phi(x)phi(y)rangolo_{-infty,infty}=
intfrac{dp}{(2pi)^D} frac{e^{ip(x-y)}}{p^{D-2Delta}}
$$

dove $Delta$ è la dimensione scalare del campo $phi$. Normalmente, $Delta=frac{D-2}{2}$ ma consentirò un più generale $Delta$'s
in questa discussione.
Ora introduciamo un mollificatore, cioè una funzione liscia di decadimento rapido $Rho(x)$ tale che
$int rho(x) dx==ampiohat{rho}(0)=1$.
Per qualsiasi $t$, permettetemi di impostare $rho_t(x)=e^{-Dt}rho(e^{-t}x)$, quindi in particolare $rho_0=rho$.
Sia $mu_{t,infty}$ sia la legge del campo $rho_tastphi$ dove $code(0144)} è campionata secondo $mu_{-infty,infty}$ e abbiamo utilizzato una convoluzione con il mollificatore riscalato. In altre parole, $mu_{t,infty}$ è la misura libera di cutoff a $Lambda_H=e^{-t}$ e il propagatore
$$
´int phi(x)phi(y) dmu_{t,infty}(phi)=angolo phi(x)phi(y)rangolo_{t,infty}=
intfrac{dp}{(2pi)^D} frac{|widehat{rho}_t(p)|^2 e^{ip(x-y)}}{p^{D-2Delta}} .
$$

Si noti che $$widehat{rho}_t(p)=widehat{rho}(e^t p)$ che assumiamo avere modulo decrescente rispetto a $t$.
Si ha $widehat{rho}_{-infty}=1$ e $widehat{rho}_{infty}=0$ e $|widehat{rho}_{t_1}(p)|^2-|widehat{rho}_{t_2}(p)|^2ge 0$ ogni volta che $t_1´le t_2$. Si può quindi definire una famiglia più generale di teorie libere/Gaussiane modificate $mu_{t_1,t_2}$ con $t_1{t_2$ dal propagatore
$$
´int phi(x)phi(y) dmu_{t_1,t_2}(phi)= rettangolo phi(x)phi(y)rangolo_{t_1,t_2}=
intfrac{dp}{(2pi)^D} frac{left(|widehat{rho}_{t_1}(p)|^2-|widehat{rho}_{t_2}(p)|^2right) e^{ip(x-y)}}{p^{D-2Delta}} .
$$

Si ha la proprietà del semigruppo per la convoluzione di misure di (probabilità)
$$
mu_{t_1,t_2}astmu_{t_2,t_3}=mu_{t_1,t_3}
$$

quando $-inftyle t_1le t_2le t_3le infty$. Ciò significa che per qualsiasi funzione $F(phi)$,
$$
´int F(phi) dmu_{t_1,t_3}=int dmu_{t_1,t_2}(zeta) dmu_{t_2,t_3}(psi) F(zeta+psi).
$$

Gli altri attori principali sono le trasformazioni di scala $S_t$. La loro azione sui campi è data da $(S_t phi)(x)=e^{-Delta t}phi(e^{-t}x)$
e ovviamente soddisfa $S_{t_1}circ S_{t_2}=S_{t_1+t_2}$.
Utilizzando la nozione di push-forward/immagine diretta delle misure, si ha $(S_t)_{ast}mu_{t_1,t_2}=mu_{t_1+t,t_2+t}$, cioè,
$$
´int dmu_{t_1,t_2}(phi) F(S_tphi)=int dmu_{t_1+t,t_2+t}(phi) F(phi).
$$

Poiché si tratta di misure gaussiane centrate, è sufficiente verificare l'ultima proprietà sui propagatori, cioè, $F(phi)=phi(x)phi(y)$
dove questo segue da un semplice cambiamento della variabile di integrazione del momento da $p$ a $q=e^{-t}p$ nella formula precedente per il propagatore.
Questo copre anche il caso del punto finale infinito con le convenzioni $t+infty=infty$, $t-infty=-infty$ per finito $t$.

La RG wilsoniana della fisica delle alte energie è una trasformazione di funzioni $RG[t_2,t_1]$ per coppie $t_1le t_2$ ottenute come segue.
Utilizzando la proprietà del semigruppo di convoluzione
$$
´int e^{-V(phi)} dmu_{t_1,infty}(phi)=´int e^{-V(zeta+psi)} dmu_{t_1,t_2}(zeta)´ dmu_{t_2,infty}(psi)
$$
$$
=int e^{-(RG[t_2,t_1](V))(phi)} dmu_{t_2,infty}(phi)
$$

dopo aver rinominato la variabile dummy di integrazione e introducendo la definizione
$$
(RG[t_2,t_1](V))(phi):=-log int e^{-V(zeta+phi)} dmu_{t_1,t_2}(zeta) .
$$

Se $V$ è il funzionale di $Difo$ corrispondente all'azione/potenziale nudo con taglio UV $Lambda_H=e^{-t_1}$, allora
$RG[t_2,t_1](V)$ è il potenziale efficace alla scala momento/massa $Lambda_L=e^{-t_2}$.
Banalmente (Fubini più associatività della convoluzione delle misure di probabilità) si ha, per $t_1code(01)}, t_2code(01)}, t_3$.,
$$
RG[t_3,t_2]RG[t_2,t_1]=RG[t_3,t_1]
$$

che è indicativo di un non autonomo struttura di sistema dinamico, a cui si cercherà di porre rimedio tra breve.
A questo punto si può già affermare l'obiettivo principale della rinormalizzazione/assunzione di limiti continui di QFT: trovare una scelta corretta di cutoff dipendente potenziali/azioni/integrati lagrangiani, $(V_t^{rm bare})_{tinmathbb{R}}$
tali che
$$
per tutti i t_2,´ ´lim_{t_1rightarrow -infty} RG[t_2,t_1]$$

L'intuizione dell'OP è corretta nel vedere questo come un problema di tiro all'indietro: scegliere la giusta condizione iniziale a $Lambda_{H}$ per arrivare dove vogliamo a $Lambda_{L}$.
Una difficoltà in questo caso (legata allo scattering nei sistemi dinamici classici) è che questo comporta un IVP in corrispondenza di $t=-infty$ invece che a tempo finito.
Si noti che la QFT del continuo, le sue correlazioni, ecc. dovrebbero essere completamente determinate dall'insieme delle sue teorie efficaci indicizzate da scale $(V_{t}^{rm eff})_{tinmathbb{R}}$. Ciò è più facilmente visibile quando si considerano le correlazioni spalmate con funzioni test con supporto compatto nello spazio di Fourier e con un cutoff netto $largohat{rho}(p)$ dato dalla funzione indicatore della condizione $|p|le 1$ (o almeno una che soddisfa $$widehat{rho}(p)=1$ in un intorno di momento zero).

Il passaggio a un'impostazione autonoma comporta una certa torsione da parte delle mappe di scalarità $S_t$. Dato un potenziale V (nudo o effettivo) che "vive" alla scala $t_1$, si ha
$$
int e^{-V(phi)} dmu_{t_1,infty}(phi)=int e^{-V(S_{t_1}phi)} dmu_{0,infty}(phi)=
´int e^{-(S_{-t_1}V)(phi)} dmu_{0,infty}(phi)
$$

dove ora definiamo l'azione delle mappe di riscalatura su funzionali da
$$
(S_t V)(phi):=V(S_{-t}phi) .
$$

Come mappe sui funzionali, si ha l'identità
$$
RG[t_2,t_1]=S_{t_1}circ RG[t_2-t_1,0]S_{t_1}}.
$$

La RG wilsoniana di Wilson è $WRG[t]:=S_{-t}circ RG[t,0]$, per $t'ge 0$. Agisce sullo spazio delle "teorie reticolari unitarie" (ho messo le virgolette perché sto usando i tagli di Fourier piuttosto che quelli reticolari). Quindi l'identità precedente diventa
$$
RG[t_2,t_1]=S_{t_2}circ WRG[t_2-t_1]S_{t_1}}.
$$

L'identità può essere derivata come segue (si noti l'orgia di parentesi dovuta all'aumento dell'astrazione dalle funzioni ai funzionali, quindi alle mappe sui funzionali):
$$
[(RG[t_2-t_1,0]circ S_{-t_1})(V)](phi)=-logogint dmu_{0,t_2-t_1}(zeta) exp[-(S_{-t_1}V)(phi+zeta)]
$$
$$
=-logint dmu_{0,t_2-t_1}(zeta) exp[-V(S_{t_1}phi+S_{t_1}zeta)]
$$
$$
=-log´int dmu_{t_1,t_2}(xi) exp[-V(S_{t_1}phi+xi)]
$$

dove abbiamo cambiato le variabili in $xi=S_{t_1}zeta$.
Da questo si ottiene
$$
[(S_{t_1}circ RG[t_2-t_1,0]circ S_{-t_1})(V)](phi)=[(RG[t_2,t_1,]circ S_{-t_1})(V)](S_{t_1}phi)
$$

e l'identità segue dal fatto banale $S_{t_1}(S_{-t_1}phi)=phi$.

Si noti che $(V_t)_{tinmathbb{R}}$ è la traiettoria di $RG$, cioè,
$$
per tutti i t_1 e i t_2, V_{t_2}=RG[t_2,t_1](V_{t_1})
$$

se e solo se $W_t:=S_{-t}V_t$ è una traiettoria di $WRG$, cioè,
$$
per tutti i t_1 e i t_2, W_{t_2}=WRG[t_2-t_1](W_{t_1}) .
$$

La proprietà del semigruppo per $RG$ implica facilmente che per $WRG$, cioè,
$$
per tutti i t_1, t_2, 0, WRG[t_1+t_2]=WRG[t_1]circ WRG[t_2] .
$$

Ora definiamo $W_{t}^{rm start}:=S_{-t} circ V_t^{rm nuda}$. Assumendo quindi la continuità di tutte queste mappe RG si ha
$$
V_{t_2}^{rm eff}=lim_{t_1rightarrow -infty} RG[t_2,t_1](V_{t_1}^{rm nuda})=S_{t_2}(W_{t_2}^{rm eff})
$$

dove
$$
W_{t_2}^{rm eff}:=lim_{t_1rightarrow -infty} WRG[t_2-t_1](W_{t_1}^{rm start}) .
$$

La definitività della QFT del continuo può anche essere riformulata come esistenza dei potenziali $W_{t}^{rm eff}$.
Una fonte comune di confusione è l'incapacità di vedere che mentre $(W_{t}^{rm eff})_{tinmathbb{R}}$ è (per definizione, proprietà del semigruppo e continuità) una traiettoria di $WRG$, la famiglia di potenziali nudi $(W_{t}^{rm bare})_{tinmathbb{R}}$non lo è.
La stessa affermazione è vera, annullando il "cambio di coordinate del fotogramma in movimento", quando si sostituisce $W$ con $V$ e $WRG$ con $RG$.

Per concretezza, abbiamo bisogno di coordinate sullo spazio in cui agisce la RG. Assumiamo il potenziale nudo $V_t^{rm nudo}$
sia determinato da un insieme di coordinate o accoppiamenti $(g_i)_{iin I}$ attraverso
$$
V_{t}^{{rm bare}(phi)=sum_{iin I} g_i^{rm bare}(t)int mathcal{O}_i(x) dx
$$

per operatori locali della forma
$$
mathcal{O}_i(x)= :partial^{alpha_1}phi(x)cdots partial^{alpha_k}phi(x):_t .
$$

L'ordinamento di Wick/normale è rispetto a la misura di cutoff libera $mu_{t,infty}$. Più precisamente, per ogni funzionale $F$,
$$
:F(phi):_t :=expleft[-frac{1}{2}
int dxdy frac{delta}{deltaphi(x)} C_{t,infty}(x,y) frac{delta}{deltaphi(y)}
right] F(phi)
$$

dove abbiamo denotato il propagatore con $C_{t,infty}(x,y):=angolophi(x)phi(y)rangolo_{t,infty}$.
Si noti che cambiando $-frac{1}{2}$ a $+frac{1}{2}$ seguito dall'impostazione di $fice=0$è integrazione rispetto a $mu_{t,infty}$.
Per esempio $:phi(x)^2:_t=phi(x)^2-C_{t,infty}(x,x)$ e $:phi(x)^4:_t=phi(x)^4-6C_{t,infty}(x,x)phi(x)^2+3C_{t,infty}(x,x)^2$.
Un facile cambio di variabili $y=e^{-t}x$ mostra che
$$
(S_{-t}V_{t}^{rm nudo})(phi)=sum_{iin I} g_i^{rm inizio}(t)
´int :partial^{alpha_1}phi(y)cdots partial^{alpha_k}phi(y):_0 dy
$$

dove $g_i^{rm start}(t):=e^{(D-Delta_i)t} g_i^{rm bare}(t)$
e ho usato la notazione $Delta_i=kDelta+|alfa_1|+cdots+|alfa_k|$ per la dimensione di scala dell'operatore locale
$mathcal{O}_i$. Il commutatore $g_i^{\rm bare}rightarrow g_i^{rm start}$ corrisponde a quello di dimensionale a senza dimensioni costanti di accoppiamento.
L'insieme di indicizzazione si divide come $I=I_{rm rel}cup I_{rm mar}cup I_{rm irr}$ corrispondenti rispettivamente alle tre
possibilità per gli operatori:
$D-Delta_i>0$ o rilevanti, $D-Delta_i=0$ o marginale, $D-´Delta_i <0>$ o irrilevante.

$W=0$ è un punto fisso del sistema dinamico autonomo $WRG$. Il comportamento in prossimità di questo punto fisso (triviale/gaussiano/libero) è governato dalla linearizzazione o dal differenziale a $W=0$ cioè dalle mappe $mathcal{D}WRG[t]$ date da
$$
[mathcal{D}WRG[t](W)](phi):=int W(S_tphi+zeta) dmu_{0,t}(zeta)
$$

come segue dalla definizione
$$
[WRG[t](W)](phi)=-log int e^{-W(S_tphi+zeta)} dmu_{0,t}(zeta)
$$

e le approssimazioni grossolane $e^zsimeq 1+z$ e $log(1+z)simeq z$.
Se $W$ ha coordinate $(g_i)_{iin I}$ (con $:´bullo :_0$ ordine di Wick), allora si può dimostrare (buon esercizio non così banale) che
$mathcal{D}WRG[t](W)$ ha coordinate date esattamente da $(e^{(D-Delta_i)t}g_i)_{iin I}$, nello stesso quadro, cioè con lo stesso $t=0$ Ordinamento di Wick.
Se invece di flussi si preferisce parlare in termini di campo vettoriale $mathcal{V}$ che genera la dinamica, allora una traiettoria
$(W_t)_{tinmathbb{R}}$ di $WRG$ soddisfa $frac{dW_t}{dt}=mathcal{V}(W_t)$ con $mathcal{V}:=left.frac{d}{dt} WRG[t]right|_{t=0}$
che ammette una suddivisione lineare più non lineare $mathcal{V}=mathcal{D}+mathcal{N}$. La parte lineare, in coordinate,
è
$$
mathcal{D}(g_i)_{iin I}=((D-Delta_i) g_i)_{iin I}.
$$

Assumiamo l'esistenza di $W_{rm UV}:=lim_{trightarrow -infty} W_{t}^{rm eff}$, il punto fisso UV, e
W_{t}^{{rm eff}$ il punto fisso nell'infrarosso (devono essere punti fissi per continuità). La discussione sulla rinormalizzabilità perturbativa
si riferisce sempre alla situazione in cui $W_{rm UV}=0$ corrispondenti a QFT continue
ottenute come perturbazioni della CFT libera $mu_{-infty,infty}$.
Per definizione, la QFT o la traiettoria $(W_t)_{tinmathbb{R}}$ delle sue teorie efficaci scalate dal "reticolo unitario"
giace sul manifesto instabile$mathcal{W}^{rm u}$ della $W=0$ punto fisso. Nel seguito assumerò, per semplicità, che non ci siano
operatori marginali, quindi il punto fisso è iperbolico e non ci sono sottigliezze dovute a manifesti di centro.
Lo spazio tangente $Tmathcal{W}^{{rm u}$ è quindi spaziato dalle funzioni $$ mathcal{O}_i$, per $i$ in $I_{{rm rel}$
che è tipicamente finito.

Si noti che, in linea di principio, conoscere una QFT equivale a conoscere una traiettoria $(W_t^{rm eff})_{tinmathbb{R}}$ e quindi è come conoscere un solo punto di quella traiettoria, ad esempio $W_0^{rm eff}$ (se il punto $t=0$ l'IVP è ben posta sia in avanti che all'indietro nel tempo, il che è un'altra questione delicata, come spiegato nella risposta di Arnold). Il punto $W_0^{rm eff}$ può essere fatto spaziare sul manifold instabile che può essere identificato con lo spazio delle QFT continue ottenute perturbando il punto $W=0$ punto fisso. D'altra parte, il nostro parametro di controllo è la scelta dei punti di partenza dipendenti dal cut-off $(W_t^{rm start})_{tinmathbb{R}}$. Questi appartengono all'intervallo superficie nuda$Tmathcal{W}^{rm u}$. Questo è il motivo per cui quando si considera, ad esempio, la $Difo^4$ solo un piccolo numero finito di termini viene inserito nella lagrangiana nuda, altrimenti parleremmo di qualche altro (famiglia di) modello come , $phi^8$ ecc.
Quindi, dopo tutte queste spiegazioni, dovrebbe essere chiaro che la rinormalizzazione nel quadro di Wilson può essere vista come una parametrizzazione della varietà nonlineare $mathcal{W}^{{rm u}$ dal sottospazio lineare $T{mathcal{W}^{rm u}$.
Se denotiamo il manifesto stabile con $Mathcal{W}^{{rm s}$ e il suo spazio tangente con $T{mathcal{W}^{rm s}$ allora, assumendo l'iperbolicità del punto fisso triviale, lo spazio completo in cui agisce la RG dovrebbe essere $Tmathcal{W}^{rm u}oplus Tmathcal{W}^{rm s}$. Il teorema del manifold stabile fornisce una rappresentazione di $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$. come il grafico di una mappa da $T{mathcal{W}^{rm u}$ in $T{mathcal{W}^{rm s}$.

Il problema principale è trovare $(W_t^{rm start})_{tinmathbb{R}}$ in modo che il limite
$W_0^{rm eff}=lim_{trightarrow -infty} WRG[-t](W_t^{rm start})$ esiste. Il teorema del manifesto stabile è il $t=-infty$ caso
di un misto problema limite in cui su una traiettoria si impongono condizioni (sulle coordinate) della forma $g_i^{rm start}(t)=0$, $ii in I_{rm irr}$ e $g_i^{rm eff}(0)=lambda_{i}^{rm R}$, in I_{rm rel}$. La prova di Irwin è un modo simpatico per spiegare questo aspetto e funziona anche se la RG non è reversibile. Questo metodo può essere applicato per i negativi finiti $t$ e questo dovrebbe produrre un insieme $(W_t^{rm })_{t <0>}$ (tutto ciò che è necessario in realtà) che dipende dalla classe accoppiamenti rinormalizzati${lambda_{i}^{rm R}$. Assumiamo per esempio che $I_{{rm rel}={1,2}$ e
$I_{rm irr}={3,4,ldots}$. Consideriamo la mappa $P_t$ data da
$$
(lambda_{1}^{rm B},lambda_{2}^{rm B})longmapsto
(g_i{WRG[-t](lambda_{1}^{rm B},
lambda_{2}^{rm B},0,0,ldots)})_{i=1,2}
$$

dove $g_i{W}$ denota il $i$-coordinata di $W$.
Una possibile scelta di punti di partenza è quindi
$$
W_t^{rm start}:=(P_t^{-1}(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),0,0,ldots)_{iin I}.
$$

Quanto sopra è più che altro una mappa di ciò che deve essere fatto, ma non fornisce una ricetta per farlo. Nell'impostazione perturbativa, si scambiano i numeri in $mathbb{R}$ per serie di potenze formali in $mathbb{R}[[hbar]]$. I propagatori della serie $mu$ vengono moltiplicati per $barra$ e ora c'è $frac{1}{hbar}$ di fronte all'elemento $V$ o $W$ nell'esponenziale. Tutti gli accoppiamenti $g_i$ diventano ora anche elementi di $mathbb{R}[[hbar]]$. L'invertibilità di $P_t$ in questo contesto è facile e segue gli analoghi del teorema della funzione implicita/inversa per le serie di potenze formali (ad esempio in Bourbaki, Algebra II, capitoli 4-7, Berlino, Springer-Verlag, 1990).
Tutto il lavoro consiste nel dimostrare che per $ige 3$, le quantità
$$
f_i(lambda_{1}^{{rm R},lambda_{2}^{rm R}):=lim_{trightarrow -infty}
g_i{WRG[-t](P_t^{-1}(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),0,0,ldots)}
$$

convergono a valori finiti. Si ottiene così la parametrizzazione desiderata $(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R})
mapsto(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R},f_3(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),f_4(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),ldots)$
di $mathcal{W}^{{rm u}$ da $T{mathcal{W}^{rm u}$.
Esistono due modi per dimostrare l'affermazione di convergenza di cui sopra. Alla base di entrambi i modi c'è il fatto (vedi Bourbaki sopra) che la serie di potenze formali $P_t^{-1}(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}) in mathbb{R}[[hbar]]^2$esistono e sono unici.

Gli appassionati di combinatoria preferirebbero una procedura in due fasi che consiste nel 1) trovare una formula esplicita per $WRG[-t](P_t^{-1}(lambda_{1}^{rm R},lambda_{2}^{rm R}),0,0,ldots)$ per finito$t$; quindi 2), con questa formula in mano, analizzare il limite
$t$ - freccia destra -infty$. La formula esplicita in 1) è La formula della foresta di Zimmermann.
Si veda questo articolo di Hairer per una recente interpretazione delle delicate stime analitiche necessarie per il passo 2).

Per coloro che aborriscono il calcolo combinatorio, esiste un altro metodo che evita le formule esplicite. Cambiare la scala $0$ nel problema misto al contorno a una scala arbitraria $s>t$. Vale a dire, imporre $g_i(t)=0$ per $ige 3$ e $g_i(s)=lambda_i^{rm R}$ per $i=1,2$ e studiare la variazione di $s$ da $s=t$ a $s=0$ con tecniche ODE. Questo è l'approccio Wilson-Polchinski. Il miglior resoconto rigoroso che conosco di questo secondo approccio è contenuto nel libro "Renormalization: An Introduction" di Salmhofer.

Infine, ci si può chiedere che cosa succederebbe se si usasse $W_{s}^{{rm eff}$ per qualche fisso $sneq 0$, per parametrizzare le QFT invece di
$W_{0}^{rm eff}$. La risposta si ottiene notando che le mappe $W_s^{rm eff}}mappa per {rm QFT}$ intrecciano l'azione di $WRG$ su
$mathcal{W}^{rm u}$ e quella delle mappe scalari $S_t$ sulle QFT (è sufficiente ridimensionare le correlazioni, cioè, fare S_t_phi$ all'interno delle correlazioni).
Questa è la relazione con la vecchia RG di Stueckelberg-Peterman-Gell-Mann-Low (cioè, il cambiamento di scala può essere assorbito da un cambiamento delle costanti di accoppiamento rinormalizzate). In altre parole, la restrizione della non reversibilità $WRG$ al manifesto dimensionale finito $Mathcal{W}^{rm u}$ dovrebbe essere reversibile poiché $S_t$(su collezioni di correlazioni), o per l'osservazione che ho fatto sul fatto che la prova di Irwin è applicabile anche a sistemi dinamici (discreti) non reversibili.

Teorie di campo classiche (principi variazionali lagrangiani) a volte si presentano in famiglie. Le famiglie possono essere dimensionali finite o anche infinite. Si potrebbe anche considerare la famiglia come costituita da tutte le possibili lagrangiane, ad esempio con la formula campi (variabili dipendenti) e il campo fonte e obiettivo (domini delle variabili indipendenti e dipendenti, rispettivamente) fissati. La nozione di un simmetria di una singola teoria è semplice: una trasformazione locale dei campi che lascia fissa la lagrangiana (fino ai termini di derivazione totale). La nozione di una simmetria di una famiglia di teorie è simile: l'azione della trasformazione dei campi deve mantenere qualsiasi lagrangiana della famiglia all'interno della stessa famiglia. Quando si quantizza la famiglia di teorie di campo classiche, diamo per scontato che si possano portare le trasformazioni di campo dal livello classico a quello quantistico (questo comporta sottigliezze tecniche e non è automatico, ma non è questo il punto). Idealmente, si vorrebbero preservare le simmetrie delle teorie classiche, ma in generale l'elevazione quantistica della simmetria classica potrebbe non essere una simmetria della teoria quantistica. In senso stretto, si dovrebbe allora dire che la simmetria è anomala. Tuttavia, quando si considera la quantizzazione come un problema di deformazione (parametro $barra=0$ corrisponde al classico, mentre $shbar ´ne 0$ a quello quantistico), è naturale consentire anche correzioni quantistiche ($bar$-deformazioni parametriche) delle simmetrie classiche sollevate. Quindi il termine simmetria anomala è riservata a quelle simmetrie i cui elevamenti quantistici non possono nemmeno essere corretti quantisticamente. Ancora più confuso è il fatto che la procedura di quantizzazione non è unica (nel contesto della quantizzazione perturbativa, le procedure di quantizzazione specifiche sono indicate come schemi di rinormalizzazione). Pertanto, se si può cambiare la procedura di quantizzazione per trasformare una simmetria anomala in una non anomala, allora si dice che l'anomalia della simmetria può essere annullata.

Ora, entrando più nello specifico, supponiamo che la famiglia in esame abbia una simmetria di scala (in pratica, un'azione da parte dei reali moltiplicativi positivi $mathbb{R}_+^\times$). Chiamiamo la versione infinitesimale di questa azione la classica flusso scalare. Ovviamente, il flusso scalare ha un'azione sui parametri della nostra famiglia di teorie. La definizione più rapida di flusso del gruppo di rinormalizzazione è che si tratta dell'ascensore corretto quantisticamente del flusso di scaling classico (a condizione che la procedura di quantizzazione sia stata scelta per annullare le potenziali anomalie nella simmetria di scaling). Si potrebbe considerare specificamente l'azione del flusso del gruppo di rinormalizzazione sui parametri della nostra famiglia di teorie, e chiamarlo flusso del gruppo di rinormalizzazione e chiamarlo anche flusso del gruppo di rinormalizzazione. Quest'ultima accezione è quella che si incontra più spesso in letteratura e che compare nell'OP.

Per rendere le cose un po' più confuse, un dato sollevamento quantistico di una simmetria classica dipende in senso stretto dalla procedura di quantizzazione. Quindi l'elevazione quantistica cambia quando cambia la procedura di quantizzazione (ovviamente limitandoci a cambiamenti per i quali la simmetria rimane non anomala). Quindi alcuni dicono che il flusso del gruppo di rinormalizzazione (o la sua restrizione ad alcuni parametri) è non banale solo se non esiste una scelta di procedura di quantizzazione per la quale non siano necessarie correzioni quantistiche.

Naturalmente, la discussione che ho fatto nel primo paragrafo è piuttosto euristica. Quando si legge di un trattamento matematicamente rigoroso del flusso del gruppo di rinormalizzazione, la maggior parte dei dettagli si occupa di rendere matematicamente preciso ciò che ho descritto. Ci sono diversi approcci per farlo e il numero di ostacoli tecnici non è piccolo, il che è ciò che rende tali trattamenti di difficile lettura per gli estranei al campo.

Tornando infine al flusso di Ricci, si potrebbe dire che esso coincide con il flusso del gruppo di rinormalizzazione di un modello sigma non lineare euclideo a 2 dimensioni (quantizzato in modo ragionevolmente perturbativo), quando è limitato allo spazio-metrico di destinazione, come parametro della lagrangiana). Si possono trovare almeno due approcci matematicamente precisi per rendere rigorosa l'affermazione di cui sopra:

Nguyen, Timothy, Quantizzazione del modello sigma non lineare rivisitato, J. Math. Phys. 57, No. 8, 082301, 40 p. (2016). ZBL1351.81089. arXiv:1408.4466

Mauro Carfora, Claudio Dappiaggi, Nicolò Drago, Paolo Rinaldi, Flusso di Ricci dalla rinormalizzazione di modelli Sigma non lineari nel quadro della Teoria Quantistica Algebrica Euclidea dei Campi, Commun. Math. Phys. (2019). arXiv:1809.07652

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