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Discesa di funzioni lungo morfismi binazionali finiti

La guida o il codice che troverai in questo post è la soluzione più rapida ed efficace che abbiamo trovato a questa preoccupazione o problema.

Soluzione:

Questo non è sempre vero. Per esempio, fallisce per l'inclusione $k[x^3,x^5]a k[x]$, dove $k$ è un campo. Ciò è dovuto al fatto che $x^7$ è nell'equalizzatore: $x^7´times 1 = x^2´times x^5=x^5´times x^2 = 1´times x^7$.

Esempi del genere sono effettivamente presenti in letteratura. Ho visto questo in SGA3, exp V.

Mi scuso per il lungo commento mascherato da risposta.

Penso che tu sia sulla strada giusta quando parli di omomorfismi ad anello universalmente iniettivi, che sono anche spesso chiamati omomorfismi ad anello puri.

Una teoria geometrica ben sviluppata di tali omomorfismi è contenuta nei lavori di Mesablishvili. La teoria include una generalizzazione del risultato che tu e l'utente52824 avete elaborato nella vostra risposta. Si veda, in particolare, il teorema 6.5 di "More on descent theory for schemes", che afferma

"Un morfismo quasi-compatto di schemi è dominante schematico stabile se e solo se è puro se e solo se è un epimorfismo regolare stabile".

Si noti che nel teorema non c'è nessuna ipotesi "finita" e nessuna ipotesi noetheriana.


Il modo più semplice per ottenere un omomorfismo puro di anello $R$ a S$ è quello di avere una ritrazione di modulo $R$ a R$. Spesso si chiama tale ritrazione un ``operatore di Reynolds'' a causa della situazione di teoria delle rappresentazioni (invarianti di un gruppo linearmente riduttivo) che dà origine a tali ritrazioni. In effetti, un'argomentazione elementare mostra che se $S$ è presentato in modo finito come un modulo di $R$ (che è la situazione da voi considerata) e puro, allora esiste una tale ritrazione.

Per la dimostrazione che un'algebra $R$ finitamente presentata come modulo $R$ è pura se e solo se ammette una ritrazione del modulo $R$ su $R$, si può vedere il Corollario 5.3 di Hochster/Roberts "The purity of the Frobenius and local cohomology". L'articolo è ora liberamente disponibile online grazie alla recente apertura da parte di Elsevier dell'accesso ai vecchi articoli di matematica. Sebbene il corollario si trovi a metà dell'articolo, appartiene a una sezione sui fondamenti dei morfismi puri e la sua dimostrazione è interamente contenuta nella sezione 5.

Per ottenere infiniti esempi di omomorfismi puri di anello, è possibile utilizzare la teoria delle rappresentazioni: sia $k$ un campo, sia $G$ un gruppo finito il cui ordine sia invertibile in $k$, e sia $V$ una rappresentazione finitamente dimensionale di $G$ su $k$. L'inclusione $k[V]^G ´a k[V]è allora un puro omomorfismo d'anello, poiché abbiamo un $k[V]^G$-modulo di ritrazione (l'operatore di Reyonlds menzionato in precedenza) $k[V]a k[V]^G$ definito dalla media su $G$. Questo tipo di esempio generalizza il calcolo della singolarità del quoziente.

Mi sono ricordato di un'affermazione contenuta nel discorso Bourbaki 190 di Grothendieck sulla discesa fedelmente piana (il Lemma 3 qui sotto) che permette di dimostrare:

Proposizione.Sia $S$ uno schema localmente noetheriano. Allora ogni morfismo finito, universalmente dominante in uno schema, di $S'´a S$ è un epimorfismo stretto.

Osservazioni. 1) Un morfismo finito è un epimorfismo se è teoricamente dominante sullo schema. 2) Esiste una generalizzazione dovuta a Mesablishvili, si veda la risposta di anon sotto.

Quindi la domanda originale ha una risposta positiva a patto che si rafforzi l'ipotesi in modo da richiedere che sia valida universalmente, cioè dopo qualsiasi cambio di base da $T'a S$. Inoltre possiamo anche indebolire bistazionale a dominante.

Per la dimostrazione utilizzerò tre lemmi:

Lemma 1.Un epimorfismo di schemi che ammette una sezione è rigoroso.

Lemma 2.Sia $u:S' a S$ un epimorfismo di schemi finito e universalmente dominante. Se $u$ diventa rigoroso dopo il cambio di base con un epimorfismo finito rigoroso $v:Ta S$, allora $u$ è rigoroso.

Lemma 3 (discorso Bourbaki 190).Sia $S$ un [EDIT] localmente schema noetheriano. Allora ogni epimorfismo finito $u:S'a a S$ è una composizione di un numero finito di epimorfismi stretti finiti.

Diamo innanzitutto:

Dimostrazione della proposizione, dati i lemmi. Sia $u:S'a a S$ un epimorfismo finito, universalmente dominante dal punto di vista schematico, con $S$ localmente noetheriano. Per il Lemma 3 possiamo scrivere $u=u_1dots u_n$ dove ogni $u_i$ è un epimorfismo finito stretto. In base al Lemma 2 e all'induzione, è sufficiente dimostrare che $u$ è rigoroso dopo il cambio di base. Ma dopo tale cambiamento di base $u$ acquisisce una sezione, quindi per il Lemma 1 è rigoroso.

Ecco ora le prove dei lemmi.

Prova del Lemma 1. Questa è ben nota e facile.

Prova del Lemma 2. Si riduce facilmente al caso in cui $S,S'$ sono affini, cioè $S=testo{Spec}(A)$ e $S'=testo{Spec}(A')$. Otteniamo quindi il diagramma:
$$
begin{array}{ccccc}
A & stackrel{f}{to} & A' & rightarrows & A'otimes_A A' &
freccia discendente & & freccia discendente & freccia discendente & freccia discendente &
B & to & B' & rightarrows & B'otimes_B B' & simeq (A'otimes_A A')otimes_A B
downarrowdownarrow & & downarrowdownarrow & & & &
B'´a_A B & ´a & B'´a_a_{A'} B' & & &
fine{array}
$$
dove $B':=Botimes_A'$ e la seconda riga è assunta esatta. Poiché $f$ è universalmente iniettiva, la mappa $Botimes_A B'$a B'otimes_{A'} B'$ nell'ultima riga è iniettiva. Quindi un facile inseguimento del diagramma mostra che la prima riga è esatta.

[EDIT] Di seguito riporto la dimostrazione del Lemma 3, elaborata da me e dall'utente 52824 nei suoi commenti. L'integrazione delle argomentazioni suggerite dall'utente 52824 ha richiesto la modifica dello schizzo della prova originale solo per rendere la lettura più scorrevole. Per queste ragioni, ho ritenuto che la documentazione storica della domanda (e della risposta) sarebbe stata altrettanto buona se avessi modificato direttamente il testo originale piuttosto che aggiungere una patch in seguito. Il punto in cui compaiono gli argomenti dell'utente52824 è chiaramente indicato.

Prova del Lemma 3. Non conosco nessun posto in cui compare una prova. Eccone una. Si definiscano gli algebrati $A_n$ come segue: si ponga $A_0=u_*mathcal{O}_{S'}$ e
$$
A_{n+1}:={ain A_n,;, aotimes 1=1otimes a mbox{ in }
A_notimes_{mathcal{O}_S} A_n}.
$$
In base alla definizione stessa, vediamo che il kernel del morfismo surgivo $A_notimes_{mathcal{O}_S} A_n$ ad A_notimes_{A_{n+1}} A_n$ è uguale a $0$, in quanto è generato dagli elementi della forma $aotimes 1-1otimes a$ per $aotimes in A_{n+1}$. Quindi il diagramma
$$
A_{n+1} ad A_n ´destrafrecce
A_notimes_{mathcal{O}_S} A_n
simeq A_notimes_{A_{n+1}} A_n
$$
è esatto. Ovvero, il morfismo di schemi $ $testo{Spec}(A_n)to{testo{Spec}(A_{n+1})$ è un rigoroso epimorfismo finito. Supponiamo che la sequenza decrescente $A_1supset A_2supsetdots$ si stabilizzi. Allora esiste $N´ge 0$ tale che $A_N=A_{N+1}$. Quindi $a_tempie 1=1_tempie a$ in $A_N_otimes_{{mathcal{O}_S} A_N$, per tutti gli $ain A_N$. Quindi la mappa di moltiplicazione $A_Notimes_{mathcal{O}_S} A_N} ad A_N$ è un isomorfismo, quindi $mathcal{O}_S ad A_N$ è un epimorfismo finito di covoni di anelli, quindi un isomorfismo e il gioco è fatto.

Resta da dimostrare che la sequenza si stabilizza. Seguiamo i suggerimenti forniti dall'utente52824 nel commento sottostante. Innanzitutto notiamo che la formazione di $A_n$ commuta con la localizzazione, e che la questione della stabilizzazione della sequenza di algebre è Zariski-locale su $S$. Inoltre, se per qualche punto $sin S$ la sequenza di germi $A_{n,s}$ si stabilizza, allora l'isomorfismo $mathcal{O}_{S,s} ad A_{n,s}$ si estende in un intorno di $s$ e quindi possiamo assumere che $S$ sia uno schema locale con punto chiuso $s$. In particolare, possiamo assumere che $S$ (locale o meno) abbia dimensione di Krull finita $d$, e argomenteremo per induzione su $d$. Se $d=0$ allora gli anelli $A_n$ hanno lunghezza finita e quindi la sequenza deve stabilizzarsi. Se $dge 1$ allora, poiché $Ssetminus {s}$ ha dimensione $

Per finire, farò un commento sul simpatico controesempio fornito da James. Esso mostra che dominante invece di universalmente dominante non è sufficiente. Non è così facile dimostrare che l'estensione $k[x^3,x^5]a k[x]non è universalmente iniettiva (ecco un suggerimento: scrivere $u=x^3$ e $v=x^5$ in modo che $A:=k[x^3,x^5]simeq k[u,v]/(u^5-v^3)$, e dimostrate che dopo il cambio di base $Aa a A/(u-v)$ l'elemento non nullo $c=u^3-u$ mappa a $0$). Questo porta alla domanda di trovare classi piacevoli e facilmente riconoscibili di morfismi di schemi universalmente dominanti (non fedelmente piatti). A parte esempi isolati, devo dire che non ho molto in mano.

Se hai qualche sfiducia o disposizione a sviluppare la nostra dichiarazione, puoi aggiungere un rapporto e lo analizzeremo con piacere.



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