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(Domanda soft) Quali tipi di proprietà sono trasferite dagli isomorfismi?

Abbiamo la migliore risposta che abbiamo trovato online. Vogliamo che ti aiuti e se vuoi fornire qualsiasi dettaglio che possa aiutarci a migliorare le nostre informazioni, fallo liberamente.

Soluzione:

La logica matematica (in particolare la teoria dei modelli) fornisce una risposta parziale. Lasciate che $M$ e $N$ sono strutture per un linguaggio del primo ordine $L$. $M$ e $N$ sono elementarmente equivalenti se ogni formula chiusa soddisfatta da una è soddisfatta dall'altra. $M$ e $N$ sono isomorfi se esiste una mappa 1-1 tra $M$ e $N$ che preserva tutte le relazioni e le funzioni menzionate nella firma di $L$. Teorema: se $M$ e $N$ sono isomorfi, allora sono elementarmente equivalenti. Si veda, ad esempio, il marcatore Teoria dei modelli: Un'introduzione§1.1, o Hodges Una teoria del modello più breve, §1.2.

Penso che questo sia un candidato ragionevole per "un teorema generale che tutte le proprietà/oggetti di questo tipo sono preservati da isomorfismi nella categoria in cui stiamo lavorando".

Io dico che un parziale risposta, perché la scelta della lingua in ogni caso rimane un problema. Mi spiego meglio con l'esempio dei gruppi. Vogliamo dimostrare che essere un sottogruppo, o un sottogruppo normale, o il centro, è preservato dagli isomorfismi, tutto in un colpo solo. Per $L$ includiamo nella firma: il simbolo costante 1, i simboli di funzione $cdot,{}^{-1}$ e il simbolo di relazione unaria $S$ per il sottoinsieme in discussione. (Ecco le formule chiuse che esprimono "$S$ è un sottogruppo", ecc. Sarò un po' sciatto per aumentare la leggibilità, usando la giustapposizione per le operazioni e omettendo le parentesi. Inoltre, quando scrivo "$S$ è un sottogruppo" nei secondi due punti, immaginate che il primo punto sia ripetuto per intero.

  • $S(1)wedgeper tutti gli x per tutti gli y[S(x)wedge S(y)rightarrow S(x^{-1})wedge S(xy)]$
  • $S$ è un sottogruppo e $per tutti gli x per tutti gli y[S(x)rightarrow S(y^{-1}xy)]$
  • $S$ è un sottogruppo e per tutti gli x[forall y(yx=xy)rightarrow S(x)]wedge
    per tutti gli x[S(x)rightarrowforall y(yx=xy)]$

Quindi se $M$ e $N$ sono isomorfi, allora $M$ soddisfa una di queste formule se e solo se $N$ è così - questo è ciò che dice l'equivalenza elementare. E se $M$ e $N$ sono gruppi isomorfi, allora i sottoinsiemi definiti dal simbolo di relazione $S$ e quindi uno è un sottogruppo (o normale, o il centro, o qualsiasi cosa esprimibile con una formula chiusa in questo linguaggio) se e solo se lo è l'altro.

Se avete familiarità con la logica del primo ordine, sarete consapevoli dei vari ostacoli da superare. Per esempio, per definire il "sottogruppo commutatore" con una formula chiusa, è necessario espandere il linguaggio per consentire sequenze di lunghezza finita arbitraria, poiché il sottogruppo commutatore è generato dai commutatori. Ciò significa incorporare $mathbb{N}$ nella struttura in qualche modo. Non intendo dire che $mathbb{N}$ sarebbe un sottoinsieme del gruppo, piuttosto che la struttura sarebbe (implicitamente) una tupla ordinata $(G,mathbb{N},ldots)$. Per le "serie derivate" è necessario espandere ulteriormente il linguaggio. Ma tutti questi ostacoli possono essere superati con le tecniche standard.

Una risposta più completa potrebbe discutere il collegamento tra la teoria delle categorie e la teoria dei modelli. Mi appello ai limiti dello spazio e delle mie competenze.

Vorrei sostenere che una "proprietà teoretica di gruppo" o una "proprietà topologica", ecc. precisamente una proprietà invariante per isomorfismo di gruppo, isomorfismo topologico (detto anche "omeomorfismo": come sottolineato nei commenti, c'è una sola nozione di isomorfismo, e si dà il caso che per le strutture algebriche esistano formulazioni equivalenti che utilizzano le biiezioni, cioè gli isomorfismi in $mathbf{Set}$), ecc.

In questo senso, la risposta è tautologica: le proprietà teoriche dei gruppi sono conservate sotto isomorfismo.perché lo sono.

Naturalmente questa non è una risposta soddisfacente, perché non riduce la quantità di prove che dobbiamo fare (dobbiamo ancora dimostrare che tale proprietà si conserva sotto l'isomorfismo per provare che è una proprietà teorica di gruppo).

Ma il vantaggio di adottare questo punto di vista è che viene fornito un modo naturale di verificare che qualcosa è, di fatto, una proprietà teorica dei gruppi (sto usando l'esempio dei gruppi qui perché è più facile usare un solo esempio), quindi sposta l'attenzione su qualcos'altro, e questo qualcos'altro è più facile da capire.

Infatti, per verificare che qualcosa si conservi sotto isomorfismo, cioè che sia una proprietà teoretica dei gruppi, è sufficiente verificare che possa essere definita internamente alla categoria dei gruppi.

Per esempio, "un elemento di ordine $mid n$ di $G$" può essere definito come un morfismo $mathbb Z/n ´a G$ e un elemento di ordine $n$ come un morfismo che non può essere fattorizzato come $mathbb Z/n a mathbb Z/d a G$ per qualsiasi $d (o si potrebbe dire "un elemento di ordine $mid n$ che è un monomorfismo".
Oppure si potrebbe dire che un elemento è un morfismo $mathbb Z$ a G$ e che ha ordine $n$ se e solo se può essere fattorizzato come $mathbb Z$ a $mathbb Z/n$ a G$ e non c'è un valore inferiore $d$, ad esempio.

Oppure, un gruppo abeliano può essere definito come un oggetto che ammette una struttura di "oggetto gruppo" nella categoria dei gruppi (questo punto di vista è utile anche per altri aspetti), quindi è invariante sotto isomorfismo.

Ci sono vari modi di vedere che tale definizione può essere definita categoricamente, ma alla fine permette sempre di vedere che è invariante sotto isomorfismo.

Il motivo è che le proprietà definite internamente a una categoria sono invarianti per isomorfismo. Per capire perché questo è vero, si può dare un'occhiata alla mia altra risposta qui, che cerca di spiegarlo.

Permettetemi di aggiungere che, a prescindere dalla questione filosofica se qualcosa sia o meno una proprietà teoretica di gruppo, o cosa significhi, l'idea di esprimere categoricamente varie nozioni concrete può essere estremamente interessante.

Per fare un esempio: su un anello $R$ c'è una nozione di "modulo finitamente presentato". Ora, questo è definito puramente in termini di frecce e così via, quindi è facile vedere che è invariante sotto isomorfismo. Ma in realtà è vero di più: si può definire internamente alla categoria di $R$-senza utilizzare alcuno specifico $R$-modulo: presentato in modo finito $R$-sono proprio gli oggetti compatti di quella categoria. Ora, la nozione di oggetto compatto è puramente categorica (quindi non si riferisce nemmeno a $R$-moduli), e quindi viene trasportata lungo le equivalenze delle categorie. Questo può essere utile per impostare le basi della teoria di Morita.

Questo è un livello categoriale più alto ("invariante sotto equivalenza di categorie"), quindi non è del tutto rilevante per la vostra domanda, ma mostra che più si possono definire le cose categoricamente, più diventano invarianti.e; quindi è un buon argomento a favore del punto di vista che ho cercato di rappresentare qui.

Ma, come ho sottolineato (se ricordo bene) nell'altra risposta, non è possibile trovare un'affermazione precisa (e utile!) su questo genere di cose, che si applichi in tutti i contesti (l'affermazione della risposta accettata è certamente semplice e precisa).e; sfortunatamente si applica solo nei casi in cui si ha a che fare con categorie di strutture del primo ordine su un certo linguaggio - ovviamente si può espandere a ordini superiori ecc. ma sarà comunque limitata) sarebbe in realtà molto difficile; e alla fine, sapere che tipo di cose sono invarianti sotto isomorfismo e che tipo di cose non lo sono è principalmente una questione di esperienza.

Lei ha solo sapere che essendo di ordine $n$ è conservato sotto un isomorfismo; mentre $piin G$non lo è. Queste cose diventano ovvie con l'esperienza - e a volte è un problema perché a volte la nostra intuizione fallisce. Per esempio, a volte ci si dimentica che le cose sono invarianti sotto isomorfismo in un altro ma potrebbero non esserlo nella categoria che stiamo considerando.

Non ho mai visto un esempio palesemente sbagliato, però, di qualcosa che sareste convinti sia preservato dall'isomorfismo, anche se ci aveste pensato per molto tempo.e; ma che in realtà non lo è. Credo che sia una delle nozioni non precise più solide che esistano.

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