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Fasci di vettori associati a uno sheaf localmente libero

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Soluzione:

Ho passato molto tempo durante il mio master (e ancora adesso) cercando di risolvere queste domande che appaiono frequentemente: "Devo applicare lo sheaf o il suo duale qui? In che direzione dovrebbero andare le mie frecce?" e il motivo per cui è così confuso è che questa questione non è stata risolta una volta per tutte; le persone continuano a discuterne e non c'è un consenso ampiamente accettato. Personalmente sto cercando di risolvere il problema, almeno per me stesso, e credo di esserci riuscito nel caso di questa particolare domanda.

Quindi il problema è questo. Se dobbiamo scegliere tra $mathcal E$ e $mathcal E^{vee}$, la nostra scelta dovrebbe almeno far funzionare l'algebra. Ci poniamo quindi nell'ambiente più generale in cui possiamo pensare di avere l'uguaglianza informale

Fascio vettoriale = sheaf localmente libero di rango costante finito

e proseguiamo da lì. Ho iniziato ispirandomi alla geometria differenziale e lavorando nella categoria dei fasci vettoriali su un manifesto arbitrario. In questo caso, un morfismo di fasci vettoriali $(E to X) to (E' to X')$ è un morfismo di collettori $f : X a X'$ accoppiato con un morfismo di fasci di vettori $f^{sharp} : E a f^* E'$, il fascio di ritorno. Un altro modo per formulare questo concetto è che abbiamo un quadrato commutativo formato da $f : X ´a X'$ e $g : E ´a E'$ tale che il morfismo sia lineare sulle fibre, ma questa è una condizione differenziale-geometrica, quindi non la esamineremo e ci concentreremo invece sull'altra, che assomiglia di più all'impostazione algebro-geometrica.

Quindi, se vogliamo spingere l'analogia alla geometria algebrica, dovremmo lavorare nello stesso modo: un morfismo di fasci di vettori algebrici $(E to X) to (E' to X')$ dovrebbe essere un morfismo di schemi $f : X to X'$ e un morfismo $g : E to f^* E' = X times_{X'} E'$ che soddisfa alcune proprietà (queste proprietà non sono importanti per la direzione delle frecce o per sapere se dobbiamo mettere $^{vee}$ o no).

Ora a ogni fascio vettoriale $pi : E to X$, associamo lo sheaf localmente libero di sezioni $Gamma_{E/X}$, che è letteralmente ciò che è: per un insieme aperto $U$, $Gamma_{E/X}(U)$ è l'insieme delle sezioni $U to pi_E^{-1}(U)$. Per il momento non discuterò la struttura di modulo $mathcal O_X$ di questo sheaf. Nel mondo (leggi: categoria) in cui vediamo un fascio vettoriale come uno sheaf localmente libero, dobbiamo identificare i morfismi di fasci vettoriali con i morfismi di sheaves localmente liberi.

Ma cos'è un morfismo di "covoni localmente liberi" $(X, mathcal E) a (X',mathcal E')$? Bene, abbiamo definito morfismi di schemi $(X, mathcal O_X) mathcal (X', mathcal O_{X'})$ attraverso una mappa continua $f : X mathcal O_{X'})$ e un morfismo di sheaves $f^{sharp} : mathcal O_{X'} a f_* mathcal O_X$. Se usiamo l'aggancio $f^{-1}/f_*$ (perché ci aspettiamo che il pushforward si comporti male sui fasci), questo è il morfismo $f^{\flat} : f^{-1} mathcal O_{X'} mathcal O_X$. In altre parole, un morfismo di schemi è una mappa continua e un morfismo di covoni che ci dice come fare il pullback delle sezioni. Dopo l'estensione della base, si ottiene l'isomorfismo $f^{\flat} : f^* mathcal O_{X'} a mathcal O_X$.

Perché non facciamo lo stesso per i moduli?

Definizione. Un morfismo di "covoni localmente liberi" $(X, mathcal E) mathcal (X', mathcal E')$ è una coppia $(f, f^{flat})$ dove $f : X mathcal E' mathcal E' mathcal E$ è un morfismo di schemi e $f^{flat} : f^{-1} mathcal E' mathcal E$ è un morfismo di moduli $f^{-1}mathcal O_{X'}$, o equivalentemente, un morfismo $f^{flat} : f^* mathcal E' mathcal E$.

Ma.aspettate! Per i fasci vettoriali, abbiamo un morfismo $E ´a f^* E'$, e per i fasci localmente liberi, abbiamo un morfismo $f^* mathcal E' ´a mathcal E$! Sappiamo che, dal punto di vista morale, il caso dei fasci vettoriali va nella direzione "corretta". Il problema è quindi come passare dalla categoria dei fasci vettoriali alla categoria delle onde localmente libere e far sì che la freccia punti nella direzione giusta.

Supponiamo di iniziare con un morfismo di covoni localmente liberi $(X, mathcal E) mathcal (X', mathcal E')$ con $f^{flat} : f^* mathcal E' mathcal E$. Applicando il funtore algebrico simmetrico, si ottiene
$$
mathrm{Sym}(f^{\flat}) : mathrm{Sym}(f^* mathcal E') mathrm{Sym}(mathcal E),
$$
e applicando la formula contravariante relativo al funtore $mathrm{Spec}$, otteniamo
$$
mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(f^{flat})) : mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(mathcal E)) ´a mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(f^*mathcal E'))
$$
Se si vuole identificare $mathcal E$ o $mathcal E^{vee}$ con il fascio vettoriale $E$, si vede che applicando $^{vee}$ a $f^{flat}$ prima di applicare $mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(-))$ si otterrebbe una freccia nella direzione sbagliata! Quindi dovremmo non applicare $^{\vee}$, e il funtore corretto è $mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(-))$ da covoni localmente liberi a fasci vettoriali.

Nell'altro senso, se partiamo da un morfismo di fasci vettoriali $(E to X) to (E' to X')$, abbiamo un morfismo di fasci vettoriali $E to f^* E'$ su $X$, quindi data una sezione $s : X to E$, possiamo comporla con $E to f^*E'$ e ottenere una sezione $f^* s : X to E to f^* E'$, cioè abbiamo un morfismo di sheaves $Gamma_{E/X} to Gamma_{X/f^*E'} = f^* Gamma_{E'/X'}$. Ora questo morfismo non ci rende felici, è nella direzione sbagliata! Dovremmo quindi applicare i duali per farlo tornare corretto. (I duali commutano con il pullback; bisogna preoccuparsi degli sheaf $mathrm{Hom}$, ma questo è un problema trattabile).

Quindi l'identificazione "Vector bundle = Locally free sheaf" è data da
$$
mathcal E mappa a mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(mathcal E)), quad E mappa a Gamma_{E/X}^{vee}.
$$
È la solo modo di farlo che abbia categoricamente senso. Se rimuovo o aggiungo $^{vee}$ a uno qualsiasi di questi funtori, le costruzioni non hanno più senso.

Una piccola osservazione; se non si lavora con fasci vettoriali (ma diciamo con covoni coerenti) e si usa ancora $mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(-))$ da $mathfrak{Coh}(X)$ a $mathbf{Sch}_X$, Invece di usare il funtore $Gamma_{E/X}$ o $Gamma_{E/X}^{vee}$, è meglio usare $pi_*(-)_1$, la parte di grado $1$ del pushforward (il pushforward è uno sheaf di algebre graduate $mathcal O_X$). In questo caso, si ha anche un'aggettivazione
$$
mathcal M mapsto mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(mathcal M)), quad E mapsto (pi_* mathcal O_E)_1
$$
Non conosco nessuno che faccia questo (lavoro con covoni coerenti), quindi non so quanto sia utile o cosa si possa fare con questo.

EDIT : Per quanto riguarda il tuo tentativo di comprensione, considera quanto segue. Dato un fascio di vettori $pi : E to X$, una sezione di questo fascio di vettori $s : X a a E$ è solo un morfismo di schemi che soddisfa $pi circ s = mathrm{id}_X$. Questo $s$ è un morfismo di schemi affini $X$ verso E$ che possiamo riscrivere come un morfismo
$$
mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(mathcal O_X)) simeq X simeq E simeq mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(Gamma_{E/X}^{vee})).
$$
Si noti che questi isomorfismi sono naturali in base all'aggancio che ho descritto sopra.

Dal momento che tutto è affine, il morfismo di cui sopra corrisponde a un morfismo di algebre graduate $mathcal O_X$ $mathrm{Sym}(Gamma_{E/X}^{vee}) mathrm{Sym}(mathcal O_X)$. Entrambi i covoni sono algebre di $mathcal O_X$ finitamente generate di grado $1$, quindi questo corrisponde a un morfismo di $mathcal O_X$-moduli $Gamma_{E/X}^{vee} ´a mathcal O_X$, cioè una sezione globale dello sheaf
$$
mathscr H!mathit{om}_{mathcal O_X}(Gamma_{E/X}^{vee},mathcal O_X) = Gamma_{E/X}^{vee vee} simeq Gamma_{E/X}.
$$
(questi isomorfismi sono di nuovo naturali).

Tornando al vostro esempio, lo sheaf delle sezioni globali dovrebbe essere $mathbb C[x]^{{plus 2}$, e non ${mathbb C[x]^2$; si scelgono due sezioni globali in $mathbb C[x]$ tramite un morfismo di $mathcal O_{mathrm{Spec}(mathbb C[x])}$-moduli $widetilde{mathbb C[x]}^{oplus 2} a a widetilde{mathbb C[x]}$ e su di esso si applica $mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(-))$. Il motivo per cui è necessario un morfismo di $mathbb C[x]e non un morfismo di $mathbb C[x](come hai fatto tu e hai erroneamente ottenuto $mathbb C[x]^2$) è spiegato sulla falsariga della mia prova.

Il dettaglio essenziale che hai saltato, dal punto di vista geometrico, è che il corrispondente morfismo di fasci vettoriali deve essere lineare sulle fibre; questo è tutto catturato nelle proprietà del funtore $mathbf{Spec}(mathrm{Sym}(-))$ poiché costruisce il corrispondente morfismo su un morfismo di moduli $mathcal O_X$ (che è una costruzione lineare, non polinomiale).

Ma dopo tutto, $mathbb C[x]^2$ e $mathbb C[x]^{{plus 2}$ sono uguali come insiemi, quindi non eri poi così lontano. Solo che non stavi cercando un anello di sezioni globali, ma di un modulo O_X$ matematico di sezioni.

Spero che questo sia d'aiuto,

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