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Funzione "valutazione" significa solo "composizione"?

Vi diamo la soluzione a questo contrattempo, almeno lo speriamo. Se hai domande, diccelo e ti aiuteremo senza esitazione.

Soluzione:

Esatto, la valutazione non si distingue in alcun modo dalla composizione con una funzione con dominio singolare o, per eliminare del tutto il discorso sugli elementi, una funzione il cui dominio è un oggetto terminale. Questo tipo di funzione può sostituire interamente il ruolo degli elementi, che è il cuore dell'assiomatizzazione categoriale della teoria degli insiemi chiamata ETCS.

In sostanza, sì, quello che stai dicendo è che nella categoria degli insiemi e delle funzioni l'azione di composizione di $f´colon A´a B$ con è proprio la codifica della valutazione della funzione $f(a)$. Quindi questo può essere scritto ordinatamente come $f(x)=fcirc (x)$. Questo apre la strada al pensiero di funzioni ed elementi in modo duale: una funzione $fcolon Aa B$ è una macchina che converte elementi di tipo $A$ in elementi di tipo $B$ e, a sua volta, un elemento di tipo $A$ è una cosa che qualsiasi macchina $f´colon A´a B$ può agire per trasformare in qualcosa di tipo $B$. Questo ci dice che possiamo considerare l'elementarità come primitiva e definire le funzioni in termini di elementi (come si fa classicamente) o che possiamo trattare le funzioni come primitive e definire l'elementarità in termini di funzioni (come si fa categoricamente). In un certo senso, per gli insiemi e le funzioni (almeno ingenuamente) i due approcci concordano.

Tuttavia, in molte altre situazioni le due opzioni sono molto diverse. Supponiamo che, invece di insiemi e funzioni, il nostro mondo sia costituito dai reali non negativi $[0,infty ]$ (con $ $infty $ e si tiene traccia della magnitudo per mezzo di $x$ a y$ iff $x´ge y$. L'elemento speciale $0$, l'elemento neutro additivo, serve qui come 'singleton'. $star$ (il motivo è che un insieme singleton è neutro (fino all'isomorfismo) rispetto al prodotto cartesiano di insiemi; analogamente $0$ è neutro rispetto all'addizione di numeri reali). Ora, nel mondo degli insiemi le frecce $starto A$ codificano gli elementi di $A$. Cosa viene codificato nel mondo dei reali non negativi? Beh, $stella ´a$ non è semplicemente dire che $a=0$. Quindi, se $a=0$ allora ha un "elemento" unico, mentre qualsiasi elemento $a>0$ non ha alcun elemento.

Questo probabilmente non sorprende, poiché i numeri reali sono molto diversi dagli insiemi. I luoghi che si comportano più come insiemi che come numeri reali sono chiamati toposi. Ma non è necessario abbandonare il paradigma "composizione=valutazione" nei non toposi. Infatti, la valutazione può essere ulteriormente compresa in termini di un'operazione molto più semplice. Tornando agli insiemi, se $[A,B]$ è l'insieme di tutte le funzioni $fcolon [Ato B]$, allora la mappatura di valutazione è $mathrm {ev}colon [A,B]´molte volte A´a B$ dato da $mathrm {ev}(f,a)=f(a)$. Questa funzione di valutazione ha una proprietà universale molto speciale. Se $fcolon Tto [A,B]$ è una qualsiasi funzione di un qualsiasi insieme $T$ possiamo formare la composizione $mathrm {ev}circ (ftimes mathrm {Id}_A)$ per ottenere una funzione $h'colon T'times A´to B$. Ma anche viceversa, qualsiasi funzione $h$ nasce univocamente in questo modo da una funzione $fcolon Tto [A,B]$.

In altre parole, esiste una biiezione naturale tra le funzioni $fcolon Tto [A,B]$ e le funzioni $h'colon T'times A´to B$. La traduzione viene eseguita universalmente dalla funzione di valutazione. Osserviamo quindi che la nozione interna dell'insieme di tutte le funzioni $[A,B]$ insieme alla nozione di valutazione è completamente codificata dalla nozione molto più semplice di prodotto cartesiano di insiemi. La codifica avviene affermando la naturale biunivocità di cui sopra. Il modo tecnico di dirlo è che la valutazione è il contatore di un'aggettivazione il cui aggettivo destro è la moltiplicazione incrociata con un insieme fisso $A$.

Ora possiamo sostituire il mondo degli insiemi e delle funzioni con il loro prodotto cartesiano con altre cose. Per esempio, i numeri reali non negativi, il confronto tra grandezze e l'addizione. Si scopre (bell'esercizio) che anche qui c'è una nozione interna di "numeri reali di tutte le grandezze da $a$ a $b$", ovvero $[a,b]$, completo di una mappatura di valutazione con le stesse proprietà degli insiemi. Tali luoghi sono chiamati categorie monoidali chiuse.

C'è qualcosa di più nella valutazione o posso equiparare la valutazione alla composizione e liberare per sempre la mia mente dal termine "valutazione"?

Francamente, non c'è modo di "liberarsi" in modo non circolare della nozione di "valutazione". Una rosa con qualsiasi altro nome è sempre una rosa. Anche l'assiomatizzazione di Lawvere dell'ETCS assiomatizza esplicitamente la mappatura della valutazione nell'assioma 2, solo formulata in termini di teoria delle categorie.

Credo che ci si debba rendere conto che certe nozioni matematiche sono nozioni fondamentali e qualsiasi implementazione si utilizzi per esse non le fa affatto sparire. Per esempio, non ha senso cercare di sostenere che la teoria degli insiemi ZFC ha eliminato la nozione di applicazione di funzioni perché invece di "$f(x)$" possiamo usare "$bigcup { y : ⟨x,y⟩∈f }$" dato dall'assioma Union e dallo schema Replacement (o un'espressione leggermente più complicata se si usano Specification e Powerset invece di Replacement).

Il punto è che noi progettazione sistemi fondamentali per essere in grado di di fare la matematica che noi vogliamo fare. Poiché vogliamo avere i soliti numeri naturali con la solita induzione, vogliamo anche che il nostro sistema fondazionale sia in grado di costruire un modello di PA (per una codifica adeguata di "modello"). E poiché vogliamo essere in grado di ragionare sulle funzioni su $ℕ$, le funzioni su $ℝ$ e così via, con la consueta nozione di "funzione", che include la valutazione, la composizione, i tipi di funzione e l'uguaglianza, ci assicuriamo che il nostro sistema fondante sia in grado di costruire rappresentazioni delle solite funzioni e dimostrare le solite proprietà! Si veda anche questo post correlato che spiega perché ci preoccupiamo delle astrazioni piuttosto che di come le cose sono concretamente implementate nel sistema fondazionale.

Non c'è nulla di sbagliato nel pensare a sistemi più deboli che non possono fare alcune di queste cose, ma la maggior parte dei logici non considererebbe questi sistemi validi come fondamenti per tutta la matematica, proprio per questo motivo!

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