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Grado di una mappa quando la si restringe a un sottomondo

Questa domanda può essere risolta in vari modi, ma ti mostreremo la risposta più completa per noi.

Soluzione:

C'è qualcosa che si può dire sul grado di $ttilde{F}$? Abbiamo $deg tilde{F} = pm deg{F}$?

Dimostrerò di seguito che, senza ulteriori ipotesi, la risposta è negativa.

Per ogni $n'in ´mathbb{Z}$, esiste una mappa liscia $F:S^2$ a freccia S^2$ di grado $0$ per il quale la restrizione all'equatore $tilde{F}:S^1$ ha grado $n$.

Se $p:S^2rightarrow ´mathbb{R}$ è la funzione altezza, allora $N = S^1 = p^{-1}(0)$ e $0$ è un valore regolare per $p$. Ma $0$ non sarà un valore regolare di $pcirc F$ quindi questo non risponde al caso specifico di interesse.

La mappa $F$ è costruita come una composizione $S^ 2xrightarrow{f} D^2xrightarrow{rho_n} D^2xrightarrow{g} S^2$.

La mappa $f$ è una proiezione da $S^2subseteq mathbb{R}^3$ al disco unitario in $mathbb{R}^2$. In termini di coordinate, è $f(x,y,z) = (x,y)$. Quando è limitata all'area equatoriale $S^1 = {(x,y,z) in S^2: z = 0}$, $f|_{S^1}:S^1} a freccia S^1$ è la mappa identità (quindi ha grado $1$).

La mappa è un $n$-fold rotation. In coordinate polari, è $rho_n(r, theta) = (r, ntheta)$. Quando è limitata a $S^1$ è il grado canonico $n$ della mappa di $S^1$.

La mappa $g$ mappe $D^2$ all'emisfero nord di $S^2$. In coordinate, è $g(x,y) = (x,y,sqrt{1-x^2 - y^2})$. Quando è limitata a $S^1$ è la mappa di identità, quindi il grado $1$.

Vista come una mappa da $S^1$ a se stesso, il grado è $deg(f)deg(rho_n)deg(g) = n$. Vista come una mappa da $S^2$ a se stessa, non è soggettiva, quindi ha grado $0$.

Mentre Jason DeVito ha pubblicato un bel controesempio alla mia domanda sul caso generale, sono riuscito a dimostrare il caso speciale che mi interessava.
caso generale, sono riuscito a dimostrare il caso speciale che mi interessa
a cui ero interessato:

Lasciate che $X^{n+1}, Y^{n+1}$ siano manifesti lisci, compatti e orientati, con
$Y$ è anche connesso, e $F: X → Y$ sia una mappa liscia. È chiaro che il
grado $deg{F}$ di $F$ è ben definito.

Sia $p: Y → ℝ$ sia un'altra mappa liscia e supponiamo $t ∈ ℝ$ sia un valore regolare
di entrambi i valori $p$ e $p ∘ F$. (Per il teorema di Sard questo è soddisfatto
per quasi ogni $t$ in $ℝ$.) Definire $N ≔ p^{-1}(t)$ e $M ≔ (p ∘ F)^{-1}(t) = F^{-1}(N)$. Per il teorema del valore regolare, $N$ e $M$ sono
sottomultipli incorporati di codimensione 1. Inoltre, sono compatti
e - come si vedrà - possono essere orientate canonicamente. Supponiamo ora
inoltre che $N$ sia connesso. Allora il grado di $tilde{F} ≔ F|_M: M → N$ è ben definito e $deg{tilde{F}} = deg{F}$.

Idea: Come accennato in precedenza, la prova si basa sulla seguente
intuizione: Supponiamo per un attimo che $y ∈ N$ non sia solo un valore regolare
di $tilde{F}$ ma anche di $F$. Allora, poiché $tilde{F}^{-1}(y) =
F^{-1}(y)$
,

$$
begin{align}
deg{tilde{F}} &= ∑_{x ∈ tilde{F}^{-1}(y)} σ_x(tilde{F}) = ∑_{x ∈ F^{-1}(y)} σ_x(tilde{F})
deg{F} &= ∑_{x ∈ F^{-1}(y)} σ_x(F)
; ,
fine{align}
$$

dove $sigma_x(F) = pm 1$ a seconda che $F$ conserva o capovolge l'orientamento a $x$. L'affermazione segue quindi se si può dimostrare che $σ_x(tilde{F}) = σ_x(F)$ per tutti $x ∈ F^{-1}(y)$, cioè che $tilde{F}$ è
che conserva l'orientamento in $x$ se e solo se $F$ è.

Preliminari: Per eseguire la prova, equipaggiare entrambi i $X$ e $Y$ con
metrica riemanniana (che esiste per un argomento di partizione dell'unità).
dell'unità). Sia $ν$ sia il campo vettoriale normale a $M$ definito come

$$
DeclareMathOperator{grad}{grad}
ν ≔ grad(p ∘ F)
; .
$$

Si noti che, poiché $ν ≠ 0$ ovunque su $M$ questo fornisce una
banalizzazione del fascio normale di $M$ (detto diversamente, $M$ è
a due facce), e quindi $X$ induce un orientamento su $M$ nel modo consueto:
Per qualsiasi $x ∈ M$, una base $e_1, ., e_n$ di $T_x M$ è detto positivamente
orientato se e solo se $e_1, ., e_n, ν$ è una base positivamente orientata
del fascio ristretto $T_x X$. Analogamente, $N$ eredita un
da $Y$ considerando il suo campo vettoriale normale
$grad{p}$.

Poiché $Y$ è orientato, esiste una forma differenziale $ω ∈
Ω^{n+1}(Y)$
di grado superiore tale che $ω ≠ 0$ ovunque e $ω(v_1, .,
v_{n+1}) > 0$
per ogni base $(v_1, ., v_{n+1})$ di $TY$ che è
orientato positivamente. Ancora una volta, per definizione dell'orientamento indotto
su $N$, il $n$-forma $tilde{ω} ∈ Ω^n(N)$, definita come

$$
tilde{ω}(-, ., -) ≔ ω(-, ., -, grad{p})
; ,
$$

è la top-form non svanente associata all'orientamento su
$N$.

Passo 1: Calcolare in qualsiasi momento $x ∈ M$:

$$
【inizio{align}
⟨F_* ν |_x, grad{p}|_{F(x)}⟩
&= dp(F_* ν) = dp(F_* grad(p ∘ F))
&= [F_* grad(p ∘ F)](p)
&= [grad(p ∘ F)](p ∘ F)
&= ⟨grad(p ∘ F), grad(p ∘ F)⟩
&= ‖ ‖grad(p ∘ F)‖² > 0
‖² > 0.
$$

da quando $M = (p ∘ F)^{-1}(t)$ e $t$ era un valore regolare di $p ∘ F$. In
particolare, ciò implica che $F_* ν ≠ 0$ ovunque e quindi se $D_x
´tilde{F} = D_x Fbig|_{T_xM}$
ha rango pieno, $D_x F$ avrà rango pieno,
anche. Quindi, se $y ∈ N$ è un valore regolare di $tilde{F}$ sarà un
valore regolare di $F$, anche.
Inoltre, questo dimostra che le orientazioni
su $M$ e $N$ dati dai campi di gradiente (che dipendono dalle metriche Riemanniane
metriche Riemanniane scelte in precedenza) sono infatti indipendenti dalla
scelta della metrica.

Passo 2: Quindi lasciamo che $y ∈ N$ sia ora un valore regolare di
$tilde{F}$ e quindi, in base al passo precedente, anche di $F$ e lasciamo che
$x ∈ F^{-1}(y) ∈ M$. Supponiamo che $(e_1, ., e_n)$ sia una qualsiasi base orientata di
$T_x M$ (in modo che $(e_1, ., e_n, ν)$ è una base orientata di $T_x X$).
Per la proprietà del valore regolare, $(F_* e_1, ., F_* e_n)$ è una base di
$T_y N$ e quindi $(F_* e_1, ., F_* e_n, grad{p})$ è una base di $T_y Y$.
Scrivere

$$
F_* ν = ∑_i V^i F_* e_i + W grad{p}
$$

per qualche $V^1, ., V^n, W ∈ ℝ$. Poiché $Grad{p} ∈ (T_y N)^⟂$ e $F_*
e_i = tilde{F}_* e_i ∈ T_y N$
, ne consegue che

$$
W = frac{1}{‖grad{p}‖²} ⟨F_* ν, ↪Pgrad{p}⟩
; ,
$$

dove $⟨F_* ν, grad{p}⟩ > 0$ come mostrato in precedenza. Calcolare:

$$
begin{align}
ω(F_* e_1, ., F_* e_n, F_* ν)
&= W - ω(F_* e_1, ., F_* e_n, grad{p})
&= W - tilde{ω}(tilde{F}_* e_1, ., tilde{F}_* e_n)
; .
fine{align}
$$

Quindi, $ω(F_* e_1, ., F_* e_n, F_* ν)$ e $tilde{ω}(tilde{F}_*
e_1, ., tilde{F}_* e_n)$
hanno lo stesso segno. Detto altrimenti, $(F_*
e_1, ., F_* e_n, F_* ν)$
è una base orientata di $T_y Y$ se e solo
se $(tilde{F}_* e_1, ., tilde{F}_* e_n)$ è uno per $T_y N$. Questo
dimostra l'affermazione.

Nota a margine:$p$ non deve essere definito su tutti gli elementi di $Y$. È sufficiente che sia definito su un qualche insieme aperto $U ´sottoinsieme Y$ e richiedere che $N ´insieme U$ sia ancora compatto. Per vedere che la prova è ancora valida, basta sostituire tutte le occorrenze di $p ∘ F$ con $p ∘ F_U$ dove $F_U ≔ F|_{F^{-1}(U)}$.



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