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"Libertà di misura" in GR

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Soluzione:

Questo è un problema che mi ha confuso quando stavo imparando la relatività generale. Nella relatività speciale, poniamo molta enfasi sul significato fisico delle coordinate, mentre nella relatività generale le trattiamo come se fossero quasi del tutto arbitrarie. Come sapete, il punto è che una volta che si ha la curvatura dello spazio, si ha non si può definire la solita rete di orologi e righelli ovunque, quindi la prescrizione della relatività speciale fallisce. E una volta perso questo punto, tanto vale consentire sistemi di coordinate completamente generali, perché è quello che la matematica ci permette di fare comunque.

Suppongo che la domanda sia: una volta che si eliminano i sistemi di coordinate "irragionevoli", e ci si concentra su quelli che sono come quelli della relatività speciale, e ci si concentra sui campi deboli, perché rimane qualche ridondanza? Il punto è che "misurare la metrica" è molto più fisicamente ambiguo di quanto sembri.

Per esempio, concentriamoci su un braccio di LIGO. Il tubo che contiene il braccio è un oggetto rigido, quindi è ragionevole fissare $g_{ii} = 1$ in tutto il braccio. Dopo tutto, è questo che intendiamo quando diciamo che LIGO è un righello, giusto? E l'altro braccio è chiaramente perpendicolare ad esso, per cui, trattandolo in modo simile, si ha inoltre $g_{ij} = delta_{ij}$. E gli impulsi laser che alimentano LIGO funzionano effettivamente come orologi estremamente precisi. Questo dovrebbe sincronizzare il tempo tra i due bracci, quindi dovremmo avere semplicemente $g_{tt} = -1$ ovunque, giusto? E ovviamente, dato che possiamo immaginare che i righelli sincronizzino il tempo in tutto ogni braccio, non ci dovrebbe essere $dt , dx$ termini incrociati, quindi $g_{i0} = 0$.

Bene, se si assumono tutte queste cose, allora si è effettivamente assunto che $g_{munu} = eta_{munu}$. In altre parole, avete assunto di trovarvi in uno spaziotempo piatto, vietando così qualsiasi onda gravitazionale! Il punto è che non è possibile soddisfare simultaneamente tutti questi vincoli fisici perfettamente ragionevoli: questo è il nocciolo della questione. significa per la curvatura dello spazio. (Sì, è possibile soddisfarli approssimativamente se la lunghezza effettiva della configurazione è molto più piccola della lunghezza d'onda dell'onda gravitazionale. Questo è esattamente il motivo per cui LIGO è così grande: questo argomento dimostra che se fosse molto più piccolo, non sarebbe in grado di vedere efficacemente le onde gravitazionali).

Il fatto che esista una ridondanza di gauge dice solo, essenzialmente, che si può scegliere quale di queste ipotesi abbandonare, ottenendo la stessa risposta in ogni caso. La scelta standard e probabilmente meno confusa è quella del gauge trasversale privo di tracce, in cui manteniamo $g_{00} = -1$ e $g_{0i} = 0$, ma se ne può fare un altro.

Solo le quantità invarianti per diffeomorfismo sono misurabili. La metrica non ha questa proprietà.

Ogni osservatore ha un tempo proprio locale che può misurare con il suo orologio e distanze proprie che può misurare con un metro molto più corto del raggio di curvatura. Se insisto nell'usare queste coordinate per descrivere il mio spazio''.

Non si tratta di coordinate, ma di funzioni di due posizioni spaziali. Queste posizioni hanno valori numerici diversi in sistemi di coordinate diversi. Per ottenere qualcosa di invariante per diffeomorfismo è necessario descrivere questi due punti in modo invariante, per esempio come punti estremi di due campi scalari (per esempio, della norma di un gradiente di densità, o della temperatura).

Più in generale, nella misura in cui si può definire il proprio quadro locale in termini invarianti (con abbastanza materia localmente vicina è possibile farlo approssimativamente, è ciò che fa un GPS) si rompe l'invarianza del diffeomorfismo in misura tale da rendere osservabili localmente campi arbitrari.

''Credo che la prima metrica sia quella che misuro usando tre bastoni da metro ortogonali, non la seconda''. (da un commento su un altro post qui)

Questo è un esempio di ciò che intendevo. In particolare, qui si pone implicitamente un pezzo di materia rigida fatto di tre bastoni da metro ortogonalmente congiunti in un'origine, e si pone inoltre che questo definisca un sistema di coordinate cartesiane. Questo fissa localmente il sistema di coordinate spaziali e quindi, per estensione, la mappa esponenziale su un grafico valido finché la curvatura non è troppo grande da rendere la mappa esponenziale non unica. Lavorando nel quadro di riposo di questo pezzo di materia, e collocando su di esso un orologio e un'apparecchiatura laser per localizzare altra materia, si può estendere questa prescrizione per definire un particolare sistema di coordinate di Minkowski per lo spaziotempo a livello locale, sicuramente estendibile a tutto il sistema solare (dove la curvatura è minima). In questo modo si fissa un sistema di coordinate e con esso tutta la libertà di gauge gravitazionale.

Più concretamente, quando "io" costruisco LIGO e misuro il segnale, ottengo qualcosa di unico. Non c'è una scelta di gauge fatta consapevolmente. Perché GR mi dà qualcosa di ambiguo?".

Come si vede, con un input sufficiente a livello di materia, non rimane nulla di ambiguo.

Da qui in poi si lavora solo nel calibro armonico e in una particolare scomposizione in spazio e tempo. In prossimità del sistema solare, le equazioni di campo possono essere linearizzate e la gravitazione si riduce a equazioni d'onda lineari accoppiate per le componenti del campo metrico. Queste equazioni consentono soluzioni di onde gravitazionali che sono state rilevate da LIGO.

Si noti che i misuratori utilizzati da LIGO fissano solo il sistema di coordinate locali, non la metrica, che rimane un oggetto dinamico. Estendendo il sistema di coordinate locali mediante la mappa esponenziale, non sono necessari metri lontani; tutto ciò che viene misurato in LIGO è locale (cioè sulla Terra), ma gli effetti di curvatura lontani sono ancora misurabili indirettamente attraverso le onde gravitazionali che producono.

Credo che la sua confusione sia racchiusa in questa parte della sua domanda:

Se insisto nell'usare queste coordinate per descrivere il mio spazio, non vedo come possa rimanere una libertà di gauge.

Senza entrare nella discussione che è emersa nei commenti alla sua domanda sul fatto che la sua particolare scelta di coordinate abbia senso, è generalmente vero che una volta scelto un insieme di coordinate, lei fa non libertà di gauge. La libertà di gauge nella relatività generale è esattamente la libertà di scegliere le proprie coordinate. Né più né meno.

Penso che questo sia più naturale da vedere attraverso una decomposizione ADM a 3+1 dimensioni. (Anche la parte della tua domanda sulle onde gravitazionali viene calcolata in questo formalismo, o in una sua variante). Assumendo per semplicità a questo punto una soluzione nel vuoto, se $g_{munu}$ è la metrica dello spaziotempo, Arnowitt, Deser e Misner dimostrarono negli anni '50 che se si prende una foliazione di ipersuperfici spaziali simili, è possibile decomporla in una 3-metrica indotta sulle superfici $gamma_{ij}$ più una funzione di "decadimento $alfa$ e un vettore di spostamento $beta^i$. Questi sono correlati da
$$ left( begin{array}{cc} g_{00} & g_{0j} g_{i0} & g_{ij} end{array} right) = left( begin{array}{cc} beta_k beta^k - alfa^2 & beta_j beta_i & gamma_{ij} ´fine{array} $$
dove l'indice dello spostamento è abbassato dalla metrica 3, $beta_k = gamma_{ik} beta^i$. Esiste anche un campo coniugato $pi^{ij}$ in questo formalismo che consente le derivate temporali (coordinate) $parziale_t gamma_{ij}$ di essere espresse come PDE del primo ordine nel tempo.

Non scriverò qui tutte le equazioni perché sono facilmente reperibili, ma questa divisione divide le equazioni di Einstein in due tipi di equazioni: Ci sono due equazioni di "evoluzione" per $gamma_{ij}$ e per $pi^{ij}$ e ci sono due equazioni di vincolo. I vincoli sono un vincolo scalare chiamato vincolo hamiltoniano e un vincolo a 3 vettori, noto come vincolo di quantità di moto. (Ciò è analogo, rispettivamente, in EM alle due equazioni di Maxwell che hanno le derivate temporali e alle due che non le hanno).

Sia nella formulazione 3+1 di GR che nelle equazioni di Maxwell, si può dimostrare che i "vincoli si propagano". Ciò significa che se i vincoli sono soddisfatti in un dato momento, lo sono in ogni momento. Si veda, ad esempio, l'appendice di Wald, che tratta questo aspetto in modo molto dettagliato.

Si noti ora che il lasso e lo spostamento sono i campi di "calibro" in questo formalismo. Non hanno alcun significato fisico. In particolare, non compaiono nel vincolo hamiltoniano o nel vincolo della quantità di moto, il che è analogo al fatto che i campi di gauge EM non compaiono nelle equazioni di vincolo $nabla cdot E = 0$ oppure $nabla ´cdot B = 0$ (sempre assumendo il vuoto). Il fatto che non compaia nelle equazioni dei vincoli significa che se si ha una qualsiasi ($gamma_{ij}$, $pi^{ij}$) che soddisfano le equazioni di vincolo in qualsiasi momento, cioè sono "fisiche" in qualsiasi momento, è possibile costruire una soluzione alle equazioni di Einstein complete per qualsiasi scelta di lasso e spostamento risolvendo le equazioni di evoluzione come un problema di valore iniziale, a causa del fatto che i vincoli si propagano, come già detto.

In secondo luogo, si noti che la scelta di lapse e shift è essenzialmente equivalente a una scelta di coordinate. Si possono trovare figure di questo tipo in molti riferimenti, tra cui MTW e Wald, ma fondamentalmente è possibile dimostrare che tra due superfici "vicine" $Sigma_0$ e $Sigma_1$, un punto $x$ su $Sigma_0$ avrà la stessa coordinata spaziale di un punto $y$ su $Sigma_1$ se $y ´approssima x + ´alfa n + ´beta$, dove $n$ è normale a $Sigma_0$ a $x$. Si ha anche che il lasso di tempo è proporzionale al tempo proprio (piuttosto che al tempo delle coordinate) tra le fette.

Quindi, in un certo senso, hai ragione nella tua lamentela. Una volta fissate le coordinate, non c'è più libertà di misura. Quando costruite il vostro "LIGO personale", come alla fine della vostra domanda, avrete effettivamente fatto la vostra scelta di coordinate, poiché le coordinate "naturali" per la vostra configurazione saranno determinate da come disponete i bracci del rivelatore, dandovi un sistema di coordinate rettangolari sulle vostre "fette spaziali". Nella regione di campo debole della Terra, questo sarà completamente compatibile con il passo unitario e lo spostamento zero, cioè lo spazio di Minkowski che avreste linearizzato per calcolare la soluzione d'onda al rivelatore.

Anche con questa comprensione, è possibile trovare gli effetti di gauge. Quando alla fine rileverete un'onda sul vostro LIGO personale, questa avrà una polarizzazione, che probabilmente scomporrete in polarizzazione "positiva" e "negativa". Se ruotate il vostro rivelatore, il che equivale a una scelta di calibro diversa, le mescolerete in modo diverso per un dato segnale. Questo è probabilmente il più semplice dei fattori multipli che devono "combaciare" tra il calcolo teorico dell'onda - dove si deve fissare il calibro - e la configurazione effettiva del rivelatore a terra. Questo è l'altro aspetto del vostro errore/confusione. Quando si esegue la teoria, se si vuole che la corrispondenza avvenga con il rivelatore, non solo si deve scegliere un calibro, ma si deve scegliere un calibro che sia compatibile con il modo in cui si leggeranno i risultati del rivelatore. Non si può scegliere un calibro qualsiasi e cercare di utilizzare i risultati del calcolo direttamente con il proprio rilevatore.

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