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L'interpretazione di Carroll delle forme a 1

Tieni presente che nella scienza un problema di solito ha diverse risoluzioni, tuttavia condivideremo la più ottimale ed efficiente.

Soluzione:

Se $f´in C(M)$ è una funzione liscia su $M$ (lascio perdere il termine "$infty$"poiché tutte le funzioni devono essere lisce), e $v_in T_xM$ è un vettore tangente, allora l'assegnazione $v'mappa a v(f)$ è un'operazione lineare $T_xM_rightarrowmathbb R$, quindi in senso, una funzione liscia è anche un funzionale lineare su $T_xM$ e quindi è un elemento dello spazio duale $T^ast_x M$.

C'è un problema con questa interpretazione, tuttavia, è che gli spazi duali sono tenuti a separarsi. Ad esempio, se $V$ è uno spazio vettoriale e $V^\ast$ è il suo duale (algebrico), chiediamo che per ogni $omega,omega^primo$ in V^ast$ possano essere distinti da come agiscono sugli elementi di $V$. In altre parole, se $mega(v)=mega^prima(v)$ per tutti$v'in V$, allora dobbiamo avere $omega=mega^primo$.

Esistono tuttavia funzioni $f,f^primo$ in C(M)$ (il primo non è una derivata) tali che $v(f)=v(f^primo)$ per tutti i $v'in T_xM$. La cosa più prudente da fare è quindi quella di identificare l'annichilente $T^0_xM$ sottoinsieme C(M)$ costituito dalle funzioni $f$ che soddisfano $v(f)=0$ per tutti $v in T_xM$. Allora si ha chiaramente $T^ast_xM=C(M)/T^0_xM$.

Questa procedura è meglio eseguita in due fasi. Innanzitutto si deve notare che tutti i vettori tangenti hanno le due seguenti proprietà:

  • Se $v_in T_xM$ è un vettore arbitrario e $fequiv c$ è una funzione costante, allora $v(f)=0$.
  • Se $v in T_xM$ è un vettore arbitrario e $f=gh$, dove $g(x)=h(x)=0$ (ma solo necessariamente per il punto specifico $x$, essi non devono svanire in modo identico), allora $v(f)=0$.

Si può quindi definire lo spazio $Mathcal I_xsubset C(M)={fin C(M): f(x)=0}$ costituito da funzioni che svaniscono in $x$. È un sottoanello di $C(M)$ ed è anche un ideale a due facce, poiché è stabile sotto la moltiplicazione dall'esterno di $Mathcal I_x$.

Abbiamo per ogni $v_in T_xM$ la relazione $v(f)=v(f-f(x))$, poiché $f(x)$ è solo una costante (il valore di $f$ a $x$), e la mappa $f$ mappa a f-f(x)$ è una proiezione da $C(M)$ a $MATICA I_X$, quindi l'azione di $T_xM$ su $C(M)$ scende ad un'azione su $MATICA I_X$ senza alcuna perdita di informazione. In questo modo, siamo riusciti a "quozientare" una porzione dell'annichilatore $T^0_xM$ sottoinsieme C(M)$ senza che sia stato fatto un quoziente, poiché l'unica funzione costante rimasta in $T^0_x_M$ è quella identicamente nulla.

C'è ancora il problema di un vettore tangente arbitrario $v$ sia nullo su prodotti della forma $f=gh$ con $g,hinmathcal I_x$. Notiamo innanzitutto che gli ideali possono essere moltiplicati, ad es. $mathcal I_x^2$ è l'ideale in $C(M)$ generato da espressioni della forma $fg$ dove $f,ginmathcal I_x$. La "seconda" proprietà dei vettori tangenti corrisponde precisamente all'affermazione
$$testo{Tutti i vettori tangenti si annichilano }mathcal I_x^2.$$

Possiamo quindi sbarazzarci di questo sottospazio prendendo il quoziente $$ I_x/$ I_x^2$. L'azione di un arbitrario $v_in T_xM$ tangente è fattorizzata dal quoziente. Infatti, sia $[cdot]$ denota la proiezione del quoziente $ $Mathcal I_x_rightarrow mathcal I_x/mathcal I_x^2$, allora definiamo il differenziale di una funzione $f´in C(M)$ a $x´in M$ come $$ ´mathrm df_x=[f-f(x)]inmathcal I_x/mathcal I_x^2, $$ allora se definiamo $$ mathrm df_x(v)=v(f), $$ questo non dipende da quale $f$ sceglieremo dalla stessa classe.

A questo punto, non possiamo essere sicuri di non poter quotare altri sottospazi da $C(M)$ tuttavia si può dimostrare che lo spazio $Mathcal I_x/mathcal I_x^2$ è finito $n$ dimensionale (ed è solo uno spazio lineare, la struttura algebrica viene persa durante il quoziente, poiché i prodotti di funzioni vengono quozientati nell'elemento zero).

La prova standard prevede un'espansione di Taylor con resto. Euristicamente, senza usare la forma precisa del termine di resto, possiamo scrivere $$ f=f(x)+parziale_mu f(x)(x^mu-x^mu(x))+mathcal I_x^2, $$ dove l'ultima espressione significa che il resto è della forma $(x^mu-x^mu(x))(x^nu-x^nu(x))g$, quindi è in $mathcal I_x^2$. Applicando il differenziale $mathrm d_x$ in questa espressione si ottiene $$ mathrm df_x=mathrm d(f(x))_x+partial_mu f(x)mathrm d(x^mu-x^mu(x))_x+mathrm d(mathcal I_x^2)_x=partial_mu f(x)mathrm dx^mu_x, $$ e poiché $$ mathrm d_x$ è la composizione di due proiezioni, è necessariamente soggettiva. Vediamo quindi che per qualsiasi grafico locale, gli elementi $mathrm dx^mu_x$ Span $$ $mathcal I_x/$ $mathcal I_x^2$ e anche l'indipendenza lineare può essere facilmente stabilita, quindi T_xM=dim(mathcal I_x/mathcal I_x^2)$. Questo però implica che $mathcal I_x/mathcal I_x^2$è lo spazio duale di $T_xM$, poiché non ci sono più sottospazi da quotare.

Interpretazione:

La procedura $$ C(M)rightarrowmathcal I_xrightarrow mathcal I_x/mathcal I_x^2$$$ prevede la rimozione graduale di tutti gli elementi dallo spazio delle funzioni $C(M)$ che annichiliscono indiscriminatamente tutti vettori tangenti, quindi in questo modo si arriva al "vero" spazio duale di $T_xM$ dove ogni elemento può essere distinto in base a come agisce sui vettori tangenti (o a come i vettori tangenti agiscono su di loro).

Se usiamo un'espansione di Taylor generalizzata in un grafico $$ f=f(x)+partial_mu f(x)(x^mu-x^mu(x))+frac{1}{2}partial_mupartial_nu f(x)(x^mu-x^mu(x))(x^nu-x^nu(x))+O((x-x(x))^3), $$ vediamo che il primo termine costante $f(x)$ viene tagliato quando ci spostiamo da $C(M)$ a $MATICA I_x$ e vediamo anche che il secondo, il terzo e tutti i termini di ordine superiore contengono fattori della forma $(x-x(x))^2$ e quindi appartengono a $mathcal I_x^2$. Prendendo il quoziente $$ $mathcal I_x/$ $$ $mathcal I_x^2$ comporta essenzialmente l'eliminazione di tutti i termini dell'espansione di Taylor, a parte quello del primo ordine, e ciò che rimane è $ partial_mu f(x)(x^mu-x^mu(x))$.

Ora, sappiamo che i covettori su un manifold sono essenzialmente derivate parziali del primo ordine di funzioni. Ciò che abbiamo fatto con questa procedura di quoziente (spostando $f$ a df_x$) è stato essenzialmente quello di differenziare la funzione $f$ in modo puramente algebrico. Abbiamo così costruito lo spazio delle derivate parziali di primo ordine delle funzioni, ad esempio lo spazio cotangente.

EDIT: Concordo con Kostya sul fatto che probabilmente c'è un errore di battitura nel libro di Carroll, e che l'uguaglianza di prima (non delle seconde) derivate è ciò che è richiesto. Tuttavia, non ci ho pensato a lungo, quindi è possibile che mi stia sbagliando.


Sia l'insieme di tutte le funzioni lisce di un manifesto $M$ a $M$ R$ essere indicato con $C^infty(M)$. Come è noto, un vettore tangente $mathbf X_p$ a un punto in M$ è una mappa lineare che mangia le funzioni $f´in C^infty(M)$ e sputa fuori numeri reali, interpretati come le loro derivate direzionali lungo $mathbf X_p$.

In un particolare diagramma di coordinate con coordinate $y^a$, possiamo associare $mathbf X_p$ all'operatore differenziale
$$mathbf X_p = X^afrac{partial}{partial y^a}$$
dove $X^a$ sono chiamate componenti di $Mathbf X_p$ (nel grafico). L'azione di $mathbf X_p$ su una funzione $f$ è quindi

X_p (f) = X^a frac{parziale f}{parziale y^a}$$.


L'insieme di $1-$ forme $T_p^*M$ è l'insieme delle mappe lineari da $T_pM$ a $M_p_M$ ovvero le mappe lineari che mangiano i vettori e sputano i numeri reali. Data una funzione liscia $f´in C^infty(M)$ possiamo definire una forma $df:T_pM rightarrow mathbb R$ come segue:

$$df(mathbf X_p) := mathbf X_p(f)$$

Questo potrebbe sembrare banale, ma l'idea è che possiamo costruire una forma a partire da funzioni lisce. Questo ci porta a chiederci se $C^infty(M)$ e $T^*_pM$ sono essenzialmente lo stesso spazio con cappelli diversi.

La risposta è no, non proprio, perché $C^infty(M)$ è troppo grande. Lavorando in un sistema di coordinate arbitrario, possiamo equiparare una forma unica $df$ con le sue componenti

$$df = sinistra(frac{parziale f}{parziale y^a}destra)_p dy^a$$

È evidente che due funzioni che differiscono per una costante additiva produrrebbero la stessa derivata direzionale. Possiamo risolvere questo problema spostando l'attenzione da $C^infty(M)$ a $C^infty_0(M)$ - l'insieme delle funzioni lisce $f$ tali che $f(p)=0$.

$C^infty_0(M)$ è ancora troppo grande, perché due funzioni lisce diverse possono avere le stesse derivate prime a $p$. Questo ci porta alla definizione della seguente relazione di equivalenza.

Definire la relazione di equivalenza $sim$ sull'insieme $C^infty_0(M)$ tale che $fsim g$ se $frac{parziale f}{parziale y^a} = frac{parziale g}{parziale y^a}$. Questo ritaglia $C^infty_0(M)$ in classi di equivalenza di funzioni lisce che condividono tutte le stesse derivate prime a $p$. L'insieme di tutte queste classi di equivalenza si chiama insieme quoziente $Qequiv C^infty_0(M) / sim$ ed è questo che è isomorfo all'insieme di una forma a $p$.

Per rendersene conto, basta notare che un elemento di $Q$ può essere univocamente specificato da una lista di numeri che corrispondono alle sue derivate parziali a $p$ (si noti che questo non è vero per $C^infty_0(M)$), e che una monoforma può essere univocamente specificata dai suoi componenti. Questi elenchi possono essere messi in corrispondenza uno a uno.

Qualcuno potrebbe spiegare questa equivalenza in modo più dettagliato?

La nozione matematica fondamentale è l'idea di "classe di equivalenza". Se si ha un insieme di cose (nel vostro caso si tratta dell'insieme delle funzioni su un manifold) e si ha una relazione di equivalenza tra queste cose (nel vostro caso due funzioni sono equivalenti se svaniscono in un dato punto e le loro derivate sono le stesse). Allora il vostro insieme sarà suddiviso in una serie di sottoinsiemi non sovrapposti - gli elementi di ogni sottoinsieme sono tutti equivalenti tra loro. Il salto concettuale consiste quindi nel dimenticare il fatto che ogni classe di equivalenza è un (sotto)insieme e nel manipolarli come elementi individuali: ad esempio, nel vostro caso, potete definire addizione/sottrazione/moltiplicazione costante sulle classi di equivalenza delle vostre funzioni.

La tua citazione dice che, matematicamente, è molto conveniente definire le forme a 1 come classi di equivalenza di funzioni in un dato punto. Tuttavia, sembra che questo sia un errore:

.hanno le stesse derivate parziali seconde.

Credo che dovrebbe trattarsi invece di derivate "prime" -- controllate questa definizione su Wikipedia.



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