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Metriche di corrispondenza del collasso gravitazionale in Gravitazione e cosmologia di Weinberg

Questo problema può essere risolto in vari modi, ma a nostro avviso ti diamo la soluzione più completa.

Soluzione:

Abbiamo $R(r,t)=a(t)r$, Quindi$mathrm{d}s^2$ nella regione esterna diventa $$-bigg(1-frac{2GM}{ar}bigg)mathrm{d}T^2+bigg(1-frac{2GM}{ar}bigg)^{-1}(dot{a}rhspace{2pt}mathrm{d}t+amathrm{d}r)^2$$
dove il punto su a significa differenziare rispetto a $t$. Sostituendo ora T in funzione di $(t,r)$ sostituendola nell'equazione precedente raccogliendo insieme i termini simili otterremo qualcosa di simile a $$(.)hspace{2pt}mathrm{d}t^2+(.)hspace{2pt}mathrm{d}r^2+(.)hspace{2pt}mathrm{d}thspace{1pt}mathrm{d}r$$
Ora si può procedere con la tecnica del fattore di integrazione, ma l'algebra sarà un po' complicata perché si devono calcolare due funzioni $T(t,r)$ e $T(t,r)$ e sono tutti correlati da PDE.

C'è una ragione per cui siamo stati in grado di dedurre facilmente la relazione $R=a(t)r$ confrontando l'ultimo termine degli elementi della linea? È perché quando eseguiamo il calcolo di cui sopra nel formalismo a guscio sottile la condizione $[h_{ab}]=0$ non influenza/modifica il valore $dOmega^2$ .
Se siete confusi da ciò che ho appena detto, vi rimando semplicemente a un altro modo di affrontare il problema di cui sopra, chiamato formalismo a guscio sottile. Potete trovare questo metodo qui. Questo metodo richiede solo mezza pagina di calcolo.

C'è un altro modo di fare il problema che è il modo in cui Oppenheimer ha trovato la soluzione.

Alla fine sono riuscito a risolvere il problema. C'erano diversi aspetti confusi. Prima di tutto, si scopre che se ignoriamo le condizioni di corrispondenza sulla metrica interna, il metodo di Weinberg $T(r,t)$ è solo una scelta. L'integranda è completamente arbitraria. È solo dopo aver imposto la condizione di corrispondenza che viene scelta la funzione particolare. Poiché Weinberg ha fatto la corrispondenza più avanti in questa sezione, sembra che la sua scelta sia in qualche modo speciale e indipendente dalle condizioni di corrispondenza.

In secondo luogo, anche se stiamo cercando $T(r,t)$ dobbiamo in realtà partire dalla metrica interna in coordinate comoventi $(t,r)$. L'usuale processo di inserimento di una funzione generica $T(r,t)$ nella metrica esterna e risolvere le equazioni differenziali, che aitfel ha suggerito e che avrei normalmente usato anch'io, non sembra funzionare.

Innanzitutto, notiamo che
$$dR = a , dr + dot{a} r , dt
implica che dr
= frac{1}{a}},dR - frac{dot{a}}{a} r ,dt
= frac{1}{a}},dR + sqrt{frac{k(1-a)}{a^5}} R ,dt,$$

quindi la metrica interna nelle coordinate $(t,R)$ è
begin{align*}
ds^2 &= -dt^2 + a^2
left(frac{1}{1-kR^2/a^2}left(frac{1}{a},dR + sqrt{frac{k(1-a)}{a^5}} R, dt, destra)^2 + frac{R^2}{a^2}, dOmega^2, destra)
&= -frac{1-kR^2/a^3}{1-kR^2/a^2} , dt^2
+ frac{2R}{1-kR^2/a^2}sqrt{frac{k(1-a)}{a^3}}
,dt,dR
+ frac{dR^2}{1-kR^2/a^2}
+ R^2, dOmega^2
&= -C(R,t) , dt^2 + 2E(R,t),dt,dR
+ D(R,t),dR^2 + R^2, dOmega^2,
fine{align*}

dove definiamo
$$C(R,t) = frac{1-kR^2/a^3}{1-kR^2/a^2},quad
E(R,t) = frac{R}{1-kR^2/a^2}sqrt{frac{k(1-a)}{a^3}},quad
D(R,t) = frac{1}{1-kR^2/a^2}, $$

utilizzando la notazione della sezione 11.7. Per rimuovere la $dt , dR$ completiamo prima il quadrato su $dt$:
$$ds^2 = -C left(dt - frac{E}{C} ,dRright)^2
+ left(D + frac{E^2}{C}right),dR^2 + R^2, dOmega^2.$$

Definiamo quindi un nuovo tempo:
$$dT = eta left(C, dt - E ,dRright), $$
dove $meta(R,t)$ è un fattore di integrazione che assicura che $dT$ sia un differenziale proprio soddisfacendo
$$frac{partial}{partial R}left(eta Cright)
= -frac{parziale}{parziale t}sinistra(eta E-destra).$$

Con questo nuovo tempo, la metrica diventa
begin{align*}
ds^2 &= -C^{-1} eta^{-2} dT^2
+ left(D + E^2 C^{-1}right),dR^2 + R^2, dOmega^2
&= -frac{1-kR^2/a^2}{1-kR^2/a^3}eta^{-2} , dT^2
+ frac{dR^2}{1-kR^2/a^3} + R^2, dOmega^2,
fine{align*}

dove ora tutte le funzioni di $t$ sono funzioni di $T$ attraverso la trasformazione delle coordinate. Per trovare questa trasformazione di coordinate, dobbiamo trovare $eta(R,t)$. L'equazione differenziale che soddisfa è
begin{align*}
0 &= frac{partial}{partial R}left(eta Cright)
+ frac{partial}{partial t}{sinistra(eta Eright)
&= frac{partial}{partial R}{sinistra(eta(R,t) frac{1-kR^2/a^3}{1-kR^2/a^2}right)
+ frac{partial}{partial t}left(eta(R,t) frac{R}{1-kR^2/a^2}sqrt{frac{k(1-a)}{a^3}}right)
&= frac{1}{1-kR^2/a^2}
a sinistra(
frac{(2a-1)k R}{2a^3}eta(R,t)
+
left(1-frac{kR^2}{a^3}right)eta'(R,t)
+ sqrt{frac{k(1-a)}{a^3}}R dot{eta}(R,t)right)
fine{align*}

Dal momento che $t$ appare solo all'interno di $a(t)$, possiamo usare $dot{a} = -sqrt{k(1-a)/a}$ per riscriverlo come
$$0 =
frac{(2a-1)k R}{2a^3}eta(R,a)
+
left(1-frac{kR^2}{a^3}right)frac{deta(R,a)}{dR}
- frac{k(1-a)}{a^2}R frac{deta(R,a)}{da}.$$

Si tratta di un'equazione differenziale parziale lineare del primo ordine, quindi possiamo utilizzare il metodo delle caratteristiche. Risolviamo prima l'equazione
$$frac{dR}{da} = -frac{a^2left(1-kR^2/a^3right)}{kR(1-a)}
´implica
R(a) = frac{a}{1-a}sqrt{(1-a)^2 - C_1}.$$

Questa equazione fornisce le curve caratteristiche dell'equazione differenziale. Risolvendo per la costante $C_1$ si ottiene
$$C_1 = (1-a)^2sinistra(1-frac{kR^2}{a^2}destra).$$
Definiamo quindi nuove coordinate $x$ e $y$:
$$x = a, quadro
y = (1-a)^2sinistra(1-frac{kR^2}{a^2}destra).$$

Riscriviamo quindi l'equazione differenziale in queste variabili,
$$0 =
frac{sqrt{k}}{2x^2}
sqrt{1-frac{y}{(x-1)^2}}
left((2 x-1) eta(x,y) - 2 (1-x) x frac{partialeta(x,y)}{partial x}right).$$

La soluzione di questa equazione differenziale più semplice è
$$eta(x,y) = frac{f(y)}{sqrt{x(1-x)}}, $$
dove $f(y)$ è una funzione arbitraria. Notiamo che possiamo scrivere $y$ come
$$y = left(1-kr_0^2right)
left(1-S(R,a)right)^2, $$

dove
$$S(R,a) = 1 - sqrt{{frac{1-kR^2/a^2}{1-kr_0^2}}
left(1-aright).$$

Qui $r_0$ è una costante arbitraria che alla fine sarà considerata il raggio della stella. Possiamo quindi scrivere la soluzione come
$$eta(R,a) = frac{f(S)}{sqrt{a(1-a)}}.$$
Notiamo che poiché la soluzione finale $(T,T)$ della metrica è C^{-1}$ e non ci aspettiamo che la metrica interna sia singolare in questo sistema di coordinate in corrispondenza di $t=0$ (e quindi a $a=1$), deve essere il caso che $f(S)$ vada a zero almeno alla stessa velocità con cui $sqrt{1-a}$ come $a$ va a $1$ (e $S$ diventa 1). Per comodità, definiamo una nuova funzione $g(S)$ e riscriviamo $eta$ come
$$eta(R,a) = frac{sqrt{1-a}left(1-kR^2/a^2right)^{1/4} g(S)}{sqrt{a(1-a)}}
= frac{left(1-kr_0right)^{1/4} sqrt{1-S} g(S)}{sqrt{a(1-a)}},$$

dove $g(S)$ non svanisce in quanto $S$ va a 1.

Ora calcoliamo le seguenti quantità, che ci saranno utili in seguito.
begin{align*}
frac{dS}{da} &= frac{1-k R^2/a^3}
{sqrt{1-k r_0^2} sqrt{1-k R^2/a^2}}
&= frac{(1-a) left(1-kR^2/a^3right)}
{(1-S) left(1-kr_0^2right)}
frac{dS}{dR} &= frac{kR(1-a)}
{a^2 sqrt{1-kr_0^2}
sqrt{1-k R^2/a^2}}
&= frac{k R (1-a)^2}{
left(1-kr_0^2right)a^2 (1-S)}.
fine{align*}

Torniamo quindi alla trasformazione delle coordinate infinitesimali:
begin{align*}
dT &= eta C , dt - eta E , dr
&= left(frac{left(1-kr_0right)^{1/4} sqrt{1-S}}{sqrt{a(1-a)}}frac{1-kR^2/a^3}{1-kR^2/a^2}
g(S)right)dt
- left(
frac{sqrt{k}Rleft(1-kr_0right)^{1/4} sqrt{1-S}}{a^2left(1-kR^2/a^2right)}g(S)
right)dr
&= left(
frac{left(1-kR^2/a^3right)(1-a)^{3/2}g(S)}
{sqrt{a}left(1-kr_0^2right)^{3/4}(1-S)^{3/2}}
right)dt
- left(
frac{sqrt{k}R g(S)}
{left(1-kr_0^2right)^{3/4}
a^2(1-a)^2(1-S)^{3/2}}
right)dr
&= left(
frac{left(1-kr_0^2right)^{1/4}
sqrt{1-a}}{sqrt{a(1-S)}} g(S)
frac{dS}{da}
destra)dt
- frac{d}{da}{destra)dt
frac{left(1-kr_0^2right)^{1/4}}
{sqrt{k(1-S)}}g(S)
frac{dS}{dR}
destra)dr
&= left(1-kr_0^2right)^{1/4}
frac{g(S)}{sqrt{k(1-S)}}left(
frac{
sqrt{k(1-a)}}{sqrt{a}}
frac{dS}{da} , dt
-
frac{dS}{dR} , drright)
&= -left(1-kr_0^2right)^{1/4}
frac{g(S)}{sqrt{k(1-S)}}left(
frac{dS}{da} dot{a} , dt
+
frac{dS}{dR} , drright).
fine{align*}

Ne consegue che $T$ può essere scritta come funzione di $S$, ovvero
$$T(R,a) = frac{left(1-kr_0^2right)^{1/4}}{sqrt{k}}int_{S(R,a)}^1 frac{g(x)}{sqrt{1-x}} , dx.$$
Senza utilizzare le condizioni di corrispondenza, $g(x)$ è arbitrario. La corrispondenza con le condizioni $(R,R)$ componenti della metrica interna ed esterna alla superficie della stella ($r = r_0$, $R = a(t)r_0$) produce la condizione
$$left(1-frac{r_S}{a r_0}right)^{-1}
= left(1-frac{kR^2}{a^3}right)^{-1}biggvert_{r=r_0}
= left(1-frac{kr_0^2}{a}right)^{-1}.$$

Quindi
$$k = frac{r_S}{r_0^3}.$$
Poiché $k = frac{8pi G}{3} mu(0)$ e $r_S = 2GM$ questo è equivalente a
$$M = frac{4}{3} pi r_0^3 mu(0), $$
il che non sorprende.

La condizione di corrispondenza sulla $(T,T)$ è
begin{align*}
-left(1-frac{r_S}{a(t)r_0}right)
&= -eta^{-2}C^{-1} bigvert_{r=r_0}
&= -frac{asqrt{1-kR^2/a^2}}
{left(1-kR^2/a^3right)g(S)^2}biggvert_{r=r_0}
&= -frac{asqrt{1-kr_0^2}}
{left(1-kr_0^2/aright)g(a)^2}.
fine{align*}

Utilizzando $r_S = k r_0^3$ dalla prima condizione di corrispondenza, troviamo
$$g(a) = frac{left(1-kr_0^2right)^{1/4}sqrt{a}}{1-kr_0^2/a}.$$
Così troviamo finalmente
$$T(r,t) = sqrt{frac{1-kr_0^2}{k}}
int_{S(r,t)}^1 frac{dx}{1-kr_0^2/x}
sqrt{frac{x}{1-x}},$$

in accordo con Weinberg.

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