Skip to content

Nome e spiegazione per i non addetti ai lavori di un diagramma di gruppo E8.

Questa è la soluzione più accurata che troverai da condividere, tuttavia dai un'occhiata attentamente e vedi se si adatta al tuo lavoro.

Soluzione:

Il diagramma che hai postato non è un diagramma di Dynkin, ma è la proiezione della carena convessa del sistema di radici $E_8$ nel piano di Coxeter, cioè il piano invariante per l'azione dell'elemento di Coxeter sullo spazio euclideo in cui è incorporato il sistema di radici di tipo $E_8$.

Inoltre, i diversi colori degli spigoli nella figura corrispondono alle relazioni di ordinamento tra le radici, rispetto all'ordinamento indotto dalla scelta di un insieme di radici semplici.

Immagini simili, ma probabilmente meno sorprendenti, possono essere ottenute allo stesso modo per tutti gli altri sistemi di radici irriducibili.

Qui potete trovare un riferimento completo.

EDIT: A proposito dei sistemi radicali.
Che cos'è una radice?
Supponiamo che $mathfrak{g}$ sia semplice.
Se si considera una sottoalgebra cartaniana massima $mathfrak{h}$, cioè una sottoalgebra massima abeliana della vostra algebra di Lie $mathfrak{g}$, l'azione di adjoint di $mathfrak{h}$ è diagonale e ogni spazio degli eigeni è indicizzato da un funzionale lineare in
$mathfrak{h}^*$.
L'insieme di questi funzionali è un sistema di radici per $mathfrak{g}$ e presenta molte belle proprietà di rigidità.
(Si veda Humphrey, per esempio, per una rassegna esaustiva delle rappresentazioni). Tuttavia, gli eigenspace non sono stabili per l'azione di elementi nilpotenti e le loro permutazioni possono essere descritte in modo piacevole dalla combinatoria.
In altre parole, un sistema di radici per $mathfrak{g}$ è l'insieme dei pesi per la rappresentazione adiacente di $mathfrak{g}$.

Modifica 2: Come classificare i sistemi di radici irriducibili? Si può considerare un opportuno sottoinsieme di radici che abbraccia lo spazio ambiente e costruire i Diagrammi di Dynkin, che classificano completamente i sistemi di radici irriducibili finiti dimensionali e quindi i sistemi di radici complessi semplici. algebre di Lie complesse.

Edit3: Gruppo di Weyl e simmetrie.
Supponiamo che il nostro sistema di radici sia incorporato in uno spazio euclideo $E$.
Si può considerare il gruppo delle trasformazioni di $E$ che conservano il sistema di radici.
Tale gruppo è chiamato gruppo di Weyl $W$ collegato al sistema di radici che si sta considerando.
Nel caso di un'algebra di Lie complessa e semplice, si tratta di un gruppo di riflessione finito.
È facile vedere che, poiché W permuta le radici, questa azione induce una permutazione dei vertici del politopo ottenuto come carena convessa delle radici (lunghe).
In questo senso si può notare la simmetria del sistema di radici del tipo $E_8$ che è l'oggetto della discussione.
Inoltre, si chiedeva la decomposizione dello spazio degli eigeni in rappresentazioni generali.
Se si considera il reticolo di pesi di una rappresentazione complessa a dimensione finita, questo reticolo ha una simmetria in un certo senso analoga: deriva dal fatto che il reticolo di pesi di una rappresentazione a dimensione finita deve essere invariante per l'azione di W!

Da questa immagine derivano i bei poligoni che avete trovato descritti nella lezione online che avete postato nei commenti.

La spiegazione del creatore dell'immagine, John Stembridge (merito di Sabino Di Trani per il link) è un ottimo punto di partenza (e forse anche di arrivo). Cito l'inizio:

Il gruppo di Lie E8 ha un "sistema di radici" ad esso associato che consiste in 240 punti nello spazio a 8 dimensioni. Analogamente, il gruppo di Lie E7 ha un sistema di radici di 126 punti nello spazio a 7 dimensioni.

Questi 240 punti sono strettamente impacchettati tra loro in modo altamente simmetrico. In effetti, questa configurazione ha un totale di 696.729.600 simmetrie. Il contrasto è con ciò che accade se si prendono gli 8 punti agli angoli di un cubo tridimensionale. Questi 8 punti hanno "solo" 48 simmetrie rotazionali e riflessive.

Naturalmente non possiamo visualizzare alcun oggetto in 8 dimensioni, ma possiamo disegnarne le proiezioni bidimensionali. Per esempio, se si immagina di far brillare una torcia elettrica su un cubo, l'ombra che proietta (a seconda di come si orienta il cubo) assomiglia a un esagono. E se si orienta il cubo nel modo giusto, l'ombra che proietta assomiglia a un esagono regolare, una figura a sei lati con tutti i lati di uguale lunghezza e tutti gli angoli di uguale misura. Facendo un ulteriore passo avanti, se si immagina il cubo come un telaio di fili metallici - 8 punti insieme con collegamenti che si connettono lungo gli spigoli del cubo, allora la proiezione assomiglierebbe a 6 punti agli angoli di un esagono, più un altro punto al centro, più le linee che collegano i punti vicini.

Quello che ho fatto con il sistema di radici di E8 è del tutto analogo. Ho scelto la direzione "giusta" per illuminare questi 240 punti, in modo che l'ombra bidimensionale che proiettano sia il più simmetrica possibile.

Quindi la domanda principale che lascia aperta è: "Che cos'è un sistema di radici?", e in relazione: perché dovremmo disegnare un sistema di radici quando stiamo parlando di un gruppo?

C'è una questione più generale. Quando si parla di $E_8$ a volte ci si riferisce a un gruppo di Lie reale, a volte a un gruppo di Lie complesso, a volte a un'algebra di Lie complessa, a volte (ma raramente) a un'algebra di Lie reale, a volte a un gruppo di Coxeter, a volte a un reticolo, a volte a un sistema di radici e, in casi eccezionali, a qualcos'altro (per esempio, le singolarità nella geometria algebrica bidimensionale).

Spesso le persone non sanno a quale cosa si riferiscono e questo è in qualche modo giustificato dal fatto che queste cose sono tutte correlate e che è possibile creare l'una dall'altra.

Ma molte cose sono correlate in matematica e non prendono tutte lo stesso nome, quindi è bene spendere qualche secondo di riflessione sul perché accade in questo caso.

La risposta breve è che tutti questi tipi di oggetti matematici seguono (grosso modo) la stessa classificazione, la classificazione ADE. In ogni classe di oggetti menzionata ne abbiamo uno (o alcuni strettamente correlati) chiamato $A_n$ per ogni valore di $n$, uno (con la stessa avvertenza) chiamato $D_n$ per ogni valore di $n$, uno (.) chiamato $E_6$, uno (.) chiamato $E_7$ e uno (.) chiamato $E_8$. Inoltre, per alcune classi di oggetti ce ne sono altre che ottengono diverse combinazioni lettera-numero, ma non molte.

Le stesse corrispondenze tra gruppi, algebre, reticoli ecc. si ottengono per $E_8$ otteniamo per ogni $A_n$, $D_n$ e $E_n$.

Passiamo ora alla domanda su cosa vi consiglio di fare:

  • Se volete avere una panoramica di quante cose seguono questa magica classificazione ADE, leggete John Baez su questo argomento. Cercherò di trovare un link più tardi e lo inserirò.
  • Se volete davvero seguire l'intera storia dal gruppo di Lie all'algebra di Lie al gruppo di Coxeter al sistema di radici (e quindi questa immagine), vi consiglio di farlo non per il caso più difficile ($E_8$) ma per il secondo caso più semplice $A_2$ (il caso più semplice $A_1$ è così semplice che si potrebbe perdere parte della bellezza). Un'ottima risorsa è il libro "Representation Theory, a first course" di Fulton e Harris.
  • Se non volete la storia completa ma solo la parte che è facile da capire e da visualizzare (nella misura in cui le cose oltre le 3 dimensioni sono visualizzabili) vi consiglio di saltare i gruppi di Lie e le algebre di Lie e di iniziare con i gruppi di Coxeter. Per questo Wikipedia è una fonte molto ricca.
  • Se volete solo una risposta informale alla domanda su cosa sia un sistema di radici, vi consiglio di iniziare con i reticoli.

Concretamente: un reticolo è solo un modo molto regolare di disporre i punti nello spazio. In 2 dimensioni c'è il reticolo quadrato (gli incroci della normale griglia di carta), ma c'è anche il reticolo $A_2$ reticolo, gli incroci della carta a griglia triangolare e alcuni altri. Si può notare che il reticolo $A_2$-è davvero molto bello (e quindi merita una lettera a sé stante) mettendo dei cerchi (monete) intorno ai punti del reticolo e vedere come si toccano tutti senza spazio per muoversi. Questo tipo di bellezza non esiste in tutte le dimensioni (la migliore risorsa per questo argomento è il libro di Conway e Sloane: 'Sphere packings, Lattices and [something]), ma in otto dimensioni tutto torna al suo posto e si ottiene un reticolo davvero bello, il $E_8$ reticolo. Mi piace questa descrizione (davvero informale) perché mi dà la sensazione di poterlo quasi immaginare, anche se in realtà non posso immaginare nulla.

Ora, se avete un'idea di cosa sono i reticoli e perché sono oggetti piacevoli, il sistema di radici è praticamente solo il "guscio interno" del reticolo: i punti più vicini all'origine (insieme alle informazioni sulle loro distanze e sugli angoli tra di loro) che generano il reticolo completo semplicemente sommandoli come vettori.

MODIFICATO IN SEGUITO: provo a rispondere alle domande concrete del post originale.

Una conseguenza del mio ultimo paragrafo è che i reticoli e quindi i sistemi di radici sono oggetti davvero rigidi. È la geometria della vecchia scuola: distanze, angoli, posizione nello spazio hanno ancora il loro significato standard. Non c'è nulla di astratto nella topologia o nell'algebra lineare o definito su un campo astratto, è solo il buon vecchio modo di pensare alla geometria che si aveva alle elementari, tranne ovviamente per il fatto che non ci si limita alle sole 3 dimensioni. Di conseguenza, ha perfettamente senso scegliere un piano bidimensionale arbitrario (o meno arbitrario) nello spazio in cui vivono il reticolo e il sistema di radici e considerare la proiezione ortogonale del sistema di radici su quel piano.

Ecco di cosa si tratta.

Quindi, per rispondere alla prima domanda:

Cosa rappresentano i vertici?

I vertici sono le posizioni effettive delle proiezioni ("ombre") degli elementi del sistema di radici (che per loro natura sono punti nello spazio) su un piano abilmente scelto.

La parte "abilmente scelta" è importante. Si può immaginare che se si fosse scelto un piano 2D a caso su cui proiettare, la configurazione dei vertici sarebbe stata molto meno simmetrica. Questo ci porta alla seconda domanda:

Questo diagramma ha un nome?

Per quanto ne so: no. Ma il piano su cui si proietta il sistema di radici, che produce l'incredibilmente bella simmetria rotazionale, sì. È il Piano di Coxeter. Quindi un nome per il diagramma è La proiezione del sistema di radici [of $E_8$] sul piano di Coxeter. Ho messo il 'di $E_8$' tra parentesi quadre perché si potrebbero fare immagini simili per $A_2$, $D_4$ ecc.

Ora:

Cosa rappresentano i bordi?

Gli spigoli collegano ogni vertice ai vertici che nel sistema radicale reale sono i suoi vicini più prossimi. Il fatto che alcuni degli spigoli corrano tra vertici che non sono più vicini nella proiezione suggerisce che il sistema radicale originale è stato proiettato da uno spazio con più di 2 dimensioni. Infatti proveniva da uno spazio a 8 dimensioni. In un certo senso lo sapevamo già, naturalmentee; il pedice 8 in $E_8$ era un po' un indizio.

Infine:

Cosa rappresenta il codice colore?

Per quanto posso dire dal link nell'altra risposta: non molto. Una cosa così bella e speciale del piano di Coxeter è che le radici (così si chiamano gli elementi di un sistema di radici) sono proiettate in un numero relativamente piccolo di anelli (invece che dappertutto). I colori riflettono questa caratteristica. Sembra che John Stembridge abbia assegnato un colore a ciascun anello e poi abbia colorato uno spigolo nel colore dell'anello più esterno in cui ha un vertice. Per quanto ne so, questo funziona principalmente per rendere l'immagine più trasparente. Nella misura in cui i colori hanno un significato più profondo, che potrebbe essere descritto nell'impostazione originale a 8 dimensioni senza tirare in ballo il piano di Coxeter, essi rappresentano una proprietà dei vertici piuttosto che degli spigoli.



Utilizzate il nostro motore di ricerca

Ricerca
Generic filters

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.