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Perché la natura favorisce il Laplaciano?

Questa sezione è stata approvata da specialisti quindi garantiamo la veridicità di questo scritto.

Soluzione:

La natura sembra essere simmetrica rispetto alla rotazione, non privilegiando alcuna direzione particolare. Il Laplaciano è l'unico operatore differenziale del secondo ordine invariante per traslazione che obbedisce a questa proprietà. La sua "laplaciana" dipende invece dalla scelta dell'asse polare utilizzato per definire le coordinate sferiche, oltre che dalla scelta dell'origine.

Ora, a prima vista il Laplaciano sembra dipendere dalla scelta di $x$, $y$, e $z$ ma in realtà non è così. Per rendersene conto, si consideri la possibilità di passare a un diverso insieme di assi, con le relative coordinate $x'$, $y'$, e $z'$. Se sono correlati da
$$ ´mathbf{x} = R ´mathbf{x}'$$
dove $R$ è una matrice di rotazione, allora la derivata rispetto a $mathbf{x}'$ è, per la regola della catena,
,
$$frac{partial}{partial mathbf{x}'} = frac{partial mathbf{x}}{partial mathbf{x}'} frac{partial}{partial mathbf{x}} = R frac{partial}{partial mathbf{x}}.$$
Il Laplaciano nelle coordinate innescate è $$nabla'^2 = left( frac{partial}{partial mathbf{x}'} right) cdot left( frac{partial}{partial mathbf{x}'} right) = left(R frac{parziale}{parziale mathbf{x}} destra) cdot sinistra(R frac{parziale}{parziale mathbf{x}} destra) = frac{parziale}{parziale mathbf{x}} cdot (R^T R) frac{partial}{partial mathbf{x}} = left( frac{partial}{partial mathbf{x}} right) cdot left( frac{partial}{partial mathbf{x}} right)$$
da quando $R^T R = I$ per le matrici di rotazione, e quindi è uguale al Laplaciano nelle coordinate cartesiane originali.

Per rendere più evidente la simmetria rotazionale, si può definire in alternativa il laplaciano di una funzione $f$ in termini di deviazione di tale funzione $f$ dalla funzione media valore di $f$ su una piccola sfera centrata intorno a ciascun punto. In altre parole, il Laplaciano misura la concavità in modo invariante rispetto alla rotazione. Questo viene derivato in modo elegante e privo di coordinate.

Il Laplaciano è bello in coordinate cartesiane perché gli assi delle coordinate sono rettilinei e ortogonali, e quindi misurare i volumi in modo semplice: l'elemento del volume è
$dV = dx dy dz$ senza fattori aggiuntivi. Questo si evince dall'espressione generale del Laplaciano, $$nabla^2 f = frac{1}{sqrt{g}} parziale_isinistra(sqrt{g}, parziale^i fdestra)$$
dove $g$ è il determinante del tensore metrico. Il Laplaciano assume solo la forma semplice $parziale_i parziale^i f$ quando $g$ è costante.


Considerato tutto questo, ci si potrebbe ancora chiedere perché il Laplaciano sia così comune. Semplicemente perché ci sono pochi modi per scrivere equazioni differenziali parziali che siano di basso ordine nelle derivate temporali (richieste dalla seconda legge di Newton o, a un livello più profondo, perché la meccanica lagrangiana è altrimenti patologica), di basso ordine nelle derivate spaziali, lineari, invarianti per traslazione, invarianti per tempo e simmetriche per rotazione. Esistono essenzialmente solo cinque possibilità: le equazioni di calore/diffusione, d'onda, di Laplace, di Schrodinger e di Klein-Gordon, e tutte coinvolgono il laplaciano.

La scarsità di opzioni porta a immaginare una "unità di fondo" della natura, che Feynman spiega in termini simili:

È possibile che questo sia l'indizio? Che la cosa comune a tutti i fenomeni sia lo spazio, il quadro in cui la fisica è inserita? Finché le cose sono ragionevolmente lisce nello spazio, allora le cose importanti che saranno coinvolte saranno i tassi di variazione delle quantità con la posizione nello spazio. Ecco perché si ottiene sempre un'equazione con un gradiente. Le derivate devono apparire sotto forma di gradiente o di divergenza.ce; Poiché le leggi fisiche sono indipendenti dalla direzione, devono essere esprimibili in forma vettoriale. Le equazioni dell'elettrostatica sono le più semplici equazioni vettoriali che si possono ottenere e che coinvolgono solo le derivate spaziali delle quantità. Qualsiasi altro problema semplice - o la semplificazione di un problema complicato - deve assomigliare all'elettrostatica. Ciò che accomuna tutti i nostri problemi è che coinvolgono lo spazio e che abbiamo imitato quello che in realtà è un fenomeno complicato con una semplice equazione differenziale.

A un livello più profondo, la ragione della linearità e delle derivate spaziali di basso ordine è che, in entrambi i casi, i termini di ordine superiore diventano genericamente meno importanti a grandi distanze. Questo ragionamento è radicalmente generalizzato dal gruppo di rinormalizzazione wilsoniano, uno degli strumenti più importanti della fisica di oggi. Utilizzandolo, si può dimostrare che anche la simmetria rotazionale può emergere da uno spazio sottostante non simmetrico dal punto di vista rotazionale, come un reticolo cristallino. Si può persino usarlo per sostenere l'unicità di intere teorie, come fece Feynman per l'elettromagnetismo.

Questa è una domanda che mi ha perseguitato per anni, quindi condividerò con voi il mio punto di vista sull'equazione di Laplace, che è l'equazione più elementare che si possa scrivere con il laplaciano.

Se si forza il laplaciano di una quantità a 0, si scrive un'equazione differenziale che dice "prendiamo il valore medio dell'intorno". È più facile da vedere in coordinate cartesiane:

$$nabla ^2 u = frac{parziale^2 u}{parziale x ^2} + frac{partial^2 u}{partial y ^2} $$

Se si approssimano le derivate parziali con

$$
frac{parziale f}{parziale x }(x) approx frac{f(x + frac{Delta x}{2}) - f(x-frac{Delta x}{2})}{Delta x}
$$
$$
frac{parziale^2 f}{parziale x^2 }(x)
´approssimativo
frac{
frac{parziale f}{parziale x } frac( x+ frac{Delta x}{2} right) - frac{partial f}{partial x } frac{parziale f}{parziale x } frac{parziale f}{2} frac{parziale x } frac{parziale f}{parziale x }
}
{
Delta x}
=
frac{
f(x + Delta x) - 2 cdot f(x) + f(x - Delta x)
}
{
Delta x ^2
}
$$

per semplicità prendiamo
$Delta x = Delta y = delta$, allora l'equazione di Laplace
$$nabla ^2 u =0 $$
diventa: $$
$$nabla ^2 u (x, y)
´approssimativo
frac{
u(x + delta, y) - 2 u(x, y) + u(x - delta, y)
}
{
delta ^2
}
+
frac{
u(x, y+ delta) - 2 u(x, y) + u(x, y - delta)
}
{
delta ^2
}
=
0
$$

quindi

$$
frac{
u(x + delta, y) - 2 u(x, y) + u(x - delta, y) +
u(x, y+ delta) - 2 u(x, y) + u(x, y - delta)
}
{
delta ^2
}
=
0
$$

da cui si può risolvere per
$u(x, y)$ per ottenere $$
u(x, y)
=
frac{
u(x + delta, y) + u(x - delta, y)
+
u(x, y+ delta)+ u(x, y - delta)
}
{
4
$$

Questo può essere letto come: "La funzione/il campo/la forza/ecc. in un punto assume il valore medio della funzione/il campo/la forza/ecc. valutati da entrambi i lati di quel punto lungo ciascun asse delle coordinate".

Laplace equation function

Naturalmente, questo funziona solo per oggetti molto piccoli $delta$ per le dimensioni rilevanti del problema in questione, ma credo che sia una buona intuizione.

Credo che questo ci dica qualcosa sulla natura: a prima vista e su scala locale, tutto è una media. Ma questo potrebbe anche dirci come noi umani modelliamo la natura, essendo il nostro primo modello sempre: "prendere il valore medio", per poi magari soffermarsi su modelli più intricati o dettagliati.

Per me, come matematico, il motivo per cui i Laplaciani (sì, esiste una pletora di nozioni di Laplaciani) sono onnipresenti in fisica è non è una simmetria dello spazio. I laplaciani appaiono naturalmente anche quando si discutono teorie fisiche di campo su geometrie diverse dallo spazio euclideo.

Direi che l'importanza dei laplaciani è dovuta alle seguenti ragioni:

(i) l'energia potenziale di molti sistemi fisici può essere modellata (fino ad errori del terzo ordine) dall'energia di Dirichlet $E(u)$ di una funzione $u$ che descrive lo stato del sistema.

(ii) punti critici di $E$, cioè le funzioni $u$ con $DE(u) = 0$ corrispondono a soluzioni statiche e

(iii) il laplaciano è essenzialmente il $L^2$-dell'energia di Dirichlet.

Per precisare l'ultima affermazione, sia $(M,g)$ sia un manifesto Riemanniano compatto con densità di volume $mathrm{vol}$. Come esempio, si può pensare a $M ´sottoinsieme ´mathbb{R}^3$ sia un dominio delimitato (con un confine sufficientemente liscio) e di $mathrm{vol}$ come modo standard di integrazione euclidea. Importante: Il dominio può essere non simmetrico.

Allora l'energia di Dirichlet di una funzione (sufficientemente differenziabile) $u colon M a a mathbb{R}$ è data da

$$E(u) = frac{1}{2}int_M langolo mathrm{grad} (u), mathrm{grad} (u)rangolo , mathrm{vol}.$$

Sia $v colon M a a mathbb{R}$ sia un'ulteriore funzione (sufficientemente differenziabile). Allora la derivata di $E$ in direzione di $v$ è dato da

$$DE(u),v = ´int_M ´angolo ´mathrm{grad}(u), ´mathrm{grad}(v) ´rangolo ´, ´mathrm{vol}.$$

L'integrazione per parti porta a

$$begin{aligned}DE(u),v
&= ´int_{parziale M} langolo mathrm{grad}(u), Nrangolo , v , mathrm{vol}_{parziale M}- int_M langolo mathrm{div} (mathrm{grad}(u)), v rangolo , mathrm{vol}

&= ´int_{parziale M} langolo mathrm{grad}(u), N rangolo , v , mathrm{vol}_{parziale M}- int_M g( Delta u, v ) , mathrm{vol},
fine{allineato}$$

dove $N$ indica la normale unitaria verso l'esterno di $M$.

Di solito è necessario adottare determinate condizioni al contorno su $u$ in considerazione. Le cosiddette condizioni al contorno di Dirichlet sono le più semplici da discutere. Supponiamo di voler minimizzare $E(u)$ soggetto a $u|_{parziale M} = u_0$. Allora ogni variazione consentita (un cosiddetto spostamento infinitesimale) $v$ di $u$ deve soddisfare $v_{parziale M} = 0$. Ciò significa che se $u$ è un minimizzatore del nostro problema di ottimizzazione, allora deve soddisfare

$$ 0 = DE(u) , v = - int_M g( Delta u, v ) , mathrm{vol} per tutti i $v colon M a mathbb{R}$ lisci con $v_{parziale M} = 0$.

Per il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, ciò porta all'equazione di Poisson

$$ left{begin{array}{rcll}
- Delta u &= &0, &testo{all'interno di $M$,}
u_{parziale M} &= &u_0.
fine{array}}destra.$$

Si noti che ciò non richiede la scelta di alcuna coordinata, rendendo queste entità e questi calcoli covarianti in senso einsteiniano.

Questa argomentazione può anche essere generalizzata a campi più generali (a valore vettoriale, a valore tensoriale, a valore di spinori o a qualsiasi altro valore che vi piaccia) $u$.
In realtà, questo può anche essere generalizzato ai manifesti lorentziani $(M,g)$ (dove la metrica $g$ ha la firma $(pm , mp, dotsc, mp)$); allora $E(u)$ coincide con il valore azione del sistema, i punti critici di $E$ corrispondono a dinamico e il risultante Laplaciano di $g$ coincide con l'operatore d'onda (o operatore di D'Alembert)$quadrato$.

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