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Perché Voevodsky considerava le categorie "poset nella dimensione successiva" e i gruppoidi la corretta generalizzazione degli insiemi?

Cerca di capire correttamente il codice prima di applicarlo al tuo lavoro.Se vuoi contribuire con qualcosa, puoi dirlo nei commenti.

Soluzione:

In primo luogo, non c'è nulla di matematicamente molto profondo in questa osservazione, e sono d'accordo che la parola "svolta" potrebbe essere esagerata. Ma d'altra parte molte idee molto profonde sembrano banali una volta esplicitate. Inoltre, essendo più giovane di Voevosky, non sono mai stato veramente esposto all'idea che le categorie fossero insiemi di dimensioni superiori (ma questo appare nei primi lavori sulle categorie superiori, tipicamente nel lavoro di Baez e Dolan), quindi non posso commentare quanto sia stato importante capire che questo non è un buon punto di vista. Posso però fornire un contesto su ciò che probabilmente Voevodsky intendeva dire qui.

Una cosa da capire è che, come molti matematici e la maggior parte dei teorici delle categorie, Voevodsky è molto legato al "principio di equivalenza", secondo il quale quando si parla di categorie si dovrebbero usare solo concetti che sono invarianti sotto l'equivalenza delle categorie. Ad esempio, nel suo lavoro sulle categorie contestuali, le ha ribattezzate "sistemi C" perché non voleva chiamarle categorie in quanto la loro definizione non è invariante sotto l'equivalenza delle categorie.

Ora, se si segue questo principio di equivalenza in modo molto rigoroso, parlare di "insieme di oggetti di una categoria" non ha senso (cioè si infrange il principio di equivalenza):
categorie equivalenti possono avere insiemi di oggetti non isomorfi.
Quindi dire che una categoria è "un insieme di oggetti insieme a un insieme di frecce che hanno una certa struttura" non è corretto da questo punto di vista.

È vero che se si ha un insieme di oggetti e un insieme di frecce con la struttura appropriata si ottiene una categoria, ed è anche vero che qualsiasi categoria può essere ottenuta in questo modo, ma non si può recuperare l'insieme degli oggetti e l'insieme delle frecce dalla categoria senza infrangere il principio di equivalenza. In un certo senso l'insieme degli oggetti e delle frecce con la struttura appropriata è una "presentazione" della categoria.

Ciò che è significativo (cioè che rispetta il principio di equivalenza) è che una categoria ha un "gruppo di oggetti" $X$, con un bifuntore $Hom : X ´times X ´rightarrow Set$.

Dal punto di vista del principio di equivalenza, una categoria è in realtà un gruppoide con una struttura. Inoltre questa struttura è una categorizzazione molto naturale della nozione di poset:

  • Un poset è un insieme X con una funzione $X ´times X ´rightarrow Prop$ che soddisfa riflessività, antisimmetria e transitività.

  • Una categoria è un gruppo $X$ con un funtore $X times X rightarrow Sets$, che soddisfa alcune condizioni. La riflessività corrisponde all'esistenza di un'identità, la transitività corrisponde all'operazione di composizione e l'antisimmetria corrisponde al fatto che alla fine si vuole che $X$ sia il gruppoide centrale della categoria.

Ma se si prende sul serio il principio di equivalenza, non si può definire cosa sia un "gruppoide", bisogna prenderlo come una nozione primitiva che si assiomatizza. Ma questo non è molto diverso dal fatto che non si può definire cosa sia un "insieme", si può solo assiomatizzare ciò che si può fare con gli insiemi.

È in questo senso che i gruppoidi sono "insiemi dimensionali superiori" e le categorie sono gruppoidi con una struttura.
Ciò è stato reso ancora più chiaro con la teoria delle categorie $(infty,1)$, dove è del tutto evidente che i gruppoidi $infty$ svolgono il ruolo che gli insiemi svolgevano per le categorie ordinarie. (Il lemma di Yoneda della categoria $(infty,1)$ è in termini di funtori alla categoria dei $gruppi di $infty$ ecc.)

Un altro modo per dirlo è che nella gerarchia di $n$-categorie gli "0-gruppi" sono solo insiemi mentre le $0$-categorie sono poset (se li si considera come $(n,1)$-categorie al variare di $n$.)

Le altre risposte sono abbastanza buone e non c'è nulla di sbagliato in esse, ma per evitare che si dia un'impressione sbagliata (ad esempio suggerendo implicitamente che l'idea di "categorie come insiemi nella dimensione successiva" nei primi lavori sulle categorie superiori fosse "sbagliata"), voglio aggiungere che mentre Voevodsky è ovviamente corretto da un certo punto di vista, c'è un altro punto di vista valido secondo il quale le categorie sono, in effetti, "insiemi nella dimensione successiva".

Il punto è che bisogna avere due assi ortogonali di "dimensione". David Corfield ne ha parlato brevemente in un commento: invece delle sole categorie $n$, si considerino le categorie $(n,r)$: categorie con (potenzialmente) non triviali $k$-morfismi per $0$ per k$ per n$, ma dove tutti i $k$-morfismi sono invertibili per $k>r$. Qui gli "0-morfismi" sono oggetti, e non ha senso chiedere che siano invertibili, quindi $r è 0$. Quindi, ad esempio:

  • Una (1,1)-categoria è una 1-categoria nel senso usuale: oggetti (0-morfismi) e frecce (1-morfismi), non necessariamente invertibili.
  • Una (1,0)-categoria è un gruppoide: oggetti e frecce, ma le frecce devono essere invertibili.
  • Una (2,2)-categoria è una 2-categoria nel senso usuale: oggetti, frecce e 2-celle, nessuna delle quali deve essere invertibile.
  • Una (2,1)-categoria è una 2-categoria di cui tutti gli elementi 2-celle sono invertibili, ma i cui 1-morfismi possono non esserlo, cioè una categoria (forse debolmente) arricchita sui gruppoidi.
  • Una (2,0)-categoria è un 2-gruppoide: una 2-categoria i cui 1-morfismi e 2-morfismi sono (forse debolmente) invertibili.
  • Una categoria $(infty,0)$ è un $gruppo $infty$: ha celle di tutte le dimensioni, tutte invertibili.
  • Un $(infty,1)$-categoria è quello che la scuola di Lurie chiama un "$categorio $infty$": ha morfismi di tutte le dimensioni, tutti invertibili eccetto i morfismi 1.
  • Una (0,0)-categoria è un insieme: solo oggetti, nessun requisito di invertibilità.

Dalla definizione di categoria $(n,r)$ si potrebbe pensare che si debba avere $r´le n$. Ma in realtà esiste un modo naturale per estenderla al caso $r=n+1$. Infatti, quando $r=n$, possiamo identificare le categorie $(n,r)$ (fino all'equivalenza) come le categorie $(n+1,r)$ in cui due qualsiasi morfismi paralleli $(n+1)$ sono uguali. Allora possiamo prendere quest'ultimo caso quando $r=n+1$ come definizione di $(n,n+1)$-categoria. Questo dà:

  • Una (0,1)-categoria è una 1-categoria in cui due qualsiasi 1-morfismi paralleli sono uguali, cioè (fino all'equivalenza) un poset.
  • Una (1,2)-categoria è una categoria arricchita su poset, o equivalentemente una 2-categoria in cui tutte le om-categorie sono poset.

Ora possiamo vedere come il passo di "aumento di dimensione" a cui pensava Voevodsky porti gli insiemi ai gruppoidi e i poset alle categorie: basta aggiungere uno a $n$ in $(n,r)$.

  • $(0,0) ´mappa a (1,0)$
  • $(0,1) mappa a (1,1)$

Ma c'è un altro passo naturale di "aumento di dimensione" che porta effettivamente gli insiemi alle categorie: aggiungere uno sia a $n$ che a $r$.

  • $(0,0) ´mappa a (1,1)$

Poiché nell'uso comune "$n$-categoria" per $n'ge 1$ si riferisce a una $(n,n)$-categoria, è quindi molto naturale dire che gli insiemi, cioè le (0,0)-categorie, meritano il nome di "0-categorie", mentre i poset dovrebbero essere chiamati (0,1)-categorie.

Credo quindi che la formulazione di Voevodsky della sua scoperta sia stata un po' troppo dogmatica. Il punto non è che sia "sbagliato" considerare le categorie come insiemi nella dimensione prossima (o almeno a dimensione successiva). Il punto è che è anche valido considerare i gruppoidi come insiemi nella dimensione successiva, e che quest'ultimo punto di vista è estremamente fruttuoso, portando in particolare a fondamenti univalenti ma anche (in modo un po' indipendente) al recente boom della teoria delle categorie $(infty,1)$ e $(infty,n)$.

Anche se questa risposta può essere vista come un'espansione delle ultime due righe della risposta di Simon, non è davvero nello stesso spirito.

Dal punto di vista della teoria delle categorie arricchite, i poset sono categorie arricchite sull'algebra booleana $2={bot < top}$. Molto spesso questa teoria delle categorie arricchite viene chiamata teoria delle categorie di $0$.

$${testo{Pos} = 0-{testo{Cat}. $$

Il concetto di gruppoide non dipende dall'arricchimento, ma dalla sua effettiva incarnazione. Quando si considerano i gruppoidi in questo contesto, sorgono gli insiemi. Sarebbe meglio dire insiemi discreti.

$$ text{Sets} = 0-text{Grpd}. $$

Ovviamente, cambiando il luogo di arricchimento da $2$ a Set si ottiene che i Gatti sono Categorie di Set e i Grpd sono Gruppi di Set.

$${testo{Cat} = text{Set}-text{Cat}, $$
$${testo{Grpd} = text{Set}-text{Grpd}. $$

Molto spesso, soprattutto nel contesto della teoria dell'omotopia, la teoria degli insiemi-categoria viene chiamata teoria della $1$-categoria.

Per avvicinarsi alla risposta di Simon, si deve osservare che tecnicamente i $0$-gruppi corrispondono a setoidi e non a insiemi. Per diverse ragioni, soprattutto in questi giorni di teorici dell'omotopia, i setoidi potrebbero essere una categoria più convincente degli insiemi.

Parlando di insiemi, essi corrispondono a scheletrico categorie $0$, mentre le categorie $0$ sono preordini.



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