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Potrei essere stato io a trovare la definizione di compattezza (e di connessione)?

Portiamo la migliore risposta che abbiamo scoperto online. Vogliamo che ti aiuti e se puoi fornire qualsiasi dettaglio che possa aiutarci a crescere, fallo liberamente.

Soluzione:

Farò una prova di "compattezza". Supponiamo di voler dimostrare qualcosa sugli insiemi in, per esempio, uno spazio metrico. Si vorrebbe, per esempio, definire la "distanza" tra una coppia di insiemi $A$ e $B$. Avete pensato a questa domanda, per esempio, per gli insiemi finiti di numeri reali, e le cose sono andate bene, e sperate di generalizzare. Quindi si dice qualcosa del tipo: "Prendo tutti i punti in $A$ e tutti i punti in $B$ e guardare $d(a, b)$ per ciascuno di essi, e poi prendere il minimo".

Ma poi ci si rende conto che "min" potrebbe essere un problema, perché l'insieme di $(a,b)$-potrebbe essere infinito, addirittura infinito, ma "min" è definito solo per gli insiemi finiti.

Ma vi siete già imbattuti in questa situazione e dite: "Oh.sostituirò questo con "inf", come sono abituato a fare!". È una buona scelta. Ma ora succede qualcosa di strano: ci si ritrova con una coppia di insiemi $A$ e $B$ la cui distanza è zero, ma che non condividono alcun punto. Si potrebbe pensare che, in analogia con i sottoinsiemi finiti di.$B$ R$ la distanza zero sarebbe stata "un punto si trova in entrambi gli insiemi", ma questo non è vero.

Poi si riflette un po' e ci si rende conto che se $A$ è l'insieme di tutti i reali negativi e $B$ è l'insieme dei reali positivi, la "distanza" tra loro è zero (secondo la vostra definizione), ma.non c'è sovrapposizione. Non si tratta di una strana cosa metrico-spaziale.si verifica anche in R$. E si può vedere qual è il problema --- è il problema di "arrivare quasi a zero", perché $A$ e $B$ sono aperti.

Quindi si fa marcia indietro e si dice: "Senti, definirò questa nozione solo per chiuso Questo risolverà questo stupido problema una volta per tutte!".

E poi qualcuno dice: "Lasciate che $A$ sia il $x$-asse in R^2$ e lasciamo che $B$ sia il grafico di $y = e^{-x}$." E ci si rende conto che questi sono entrambi insiemi chiusi e non si intersecano, ma la distanza definita è ancora zero. Dannazione!

Guardando più da vicino, ci si rende conto che il problema è con ${ d(a, b) ´mid a ´in A, b ´in B}$. Questo insieme è un insieme infinito di numeri positivi, ma l'inf riesce comunque a essere zero. Se fosse un finito l'inf (o il min - la stessa cosa in questo caso!) sarebbe positivo e tutto funzionerebbe come previsto.

Guardiamo ancora a $A$ e $B$ invece di guardare tutti i punti in $A$ e $B$, si potrebbe dire "Guarda, se $B$ si trova alla distanza $q$ da $A$, poi intorno a qualsiasi punto di $B$ dovrei essere in grado di posizionare una sfera (aperta) di raggio $q$ senza colpire $A$. Che ne dite di ripensare le cose e di dire invece questo: considerate, per tutti i punti $b ´in B$, il più grande $r$ tale che $B_r(b) cap A = emptyset$..e poi prenderò il più piccolo di questi "raggi" come distanza.

Naturalmente, questo non funziona: l'insieme dei raggi, essendo infinito, potrebbe ancora avere zero come inf. Ma se si potesse in qualche modo scegliere solo un numero finito di di essi? Allora si potrebbe prendere un numero minimo e ottenere un numero positivo.

Ora, questo approccio esatto non funziona davvero, ma qualcosa di abbastanza vicino fa e situazioni simili continuano a presentarsi: si ha un insieme infinito di sfere aperte e si vuole prendere il raggio minimo, ma "min" deve essere "inf" e potrebbe essere zero. A un certo punto si dice: "Oh, diavolo. Questa prova non funziona, e qualcosa di simile a questo grafico e.".$x$-continua a incasinarmi. Che ne dite se ripeto l'affermazione e dico che lo faccio solo per gli insiemi in cui la mia collezione infinita di insiemi aperti può sempre essere ridotta a una collezione finita?".

Arriva il collega scettico dall'altra parte del corridoio, gli spieghi la tua idea e il collega dice: "Stai limitando il tuo teorema a questi insiemi 'speciali', quelli in cui ogni copertura da parte di insiemi aperti ha una finito .sembra una restrizione piuttosto estrema. Esistono effettivamente qualsiasi con questa proprietà?".

E voi vi mettete a lavorare per un po' e vi convincete che l'intervallo unitario ha questa proprietà. E poi ci si rende conto che in realtà se $X$ è speciale e $f$ è continuo, allora $f(X)$ è anch'esso speciale, quindi improvvisamente si ha tonnellate di esempi e si può dire al collega che non si sta solo scherzando con l'insieme vuoto. Ma il collega chiede: "Bene, OK. Quindi ce ne sono molti. Ma questa storia della copertura finita sembra piuttosto.strana. Esiste una caratterizzazione equivalente di questi insiemi speciali?".

Si scopre che c'è non -- Il "cambiare l'infinito in finito" è davvero la salsa segreta. Ma in alcuni casi, come per i "sottoinsiemi di $Bbb R^n$ -- esiste una caratterizzazione equivalente, ovvero "chiuso e limitato". Ebbene, questo è qualcosa che tutti possono capire, ed è un tipo di insieme abbastanza ragionevole, quindi serve una parola. È "compatto" la parola che avrei scelto? Probabilmente no. Ma di certo corrisponde al concetto di "delimitato" e non è una brutta parola, quindi si adatta.

La cosa fondamentale qui è che l'idea di compattezza nasce a causa di molteplici casi di persone che cercano di fare cose e scoprono che tutto funzionerebbe meglio se potessero semplicemente sostituire una copertura con una copertura finita, spesso in modo da poter prendere un "minimo" di qualche tipo. E una volta che qualcosa viene usato abbastanza, prende un nome.

[Of course, my "history" here is all fiction, but there are plenty of cases of this sort of thing getting named. Phrases like "in general position", for instance, arise to keep us out of the weeds of endless special cases that are arbitrarily near to perfectly nice cases.]

Mi scuso per il discorso lungo e sconclusionato, ma volevo far capire che imbattersi nella nozione di compattezza (o "trasformazione lineare", o "gruppo") non è poi così implausibile.

Uno dei grandi problemi che ho avuto quando ho iniziato a studiare la matematica è stato quello di pensare che tutta questa roba fosse stata tramandata a Mosè su tavole di pietra, senza rendermi conto che era nata in modo molto più organico. Forse una delle avvisaglie è stata quando ho imparato a conoscere gli spazi topologici e una delle classi di spazi era "T-2 1/2". Sembrava abbastanza chiaro che qualcuno avesse saltato qualcosa e poi fosse tornato indietro per riempire un punto che non c'era, dando un "mezzo numero" come nome. (Questo potrebbe anche essere sbagliato, ma è sicuramente quello che sembrava a un principiante).

Mi piace la risposta di John Hughes, ma cercherò di fare il mio tentativo. Mi dilungherò anche in un lungo sproloquio, quindi assicuratevi di avere un po' di tempo a disposizione se state leggendo questo articolo. Se non sbaglio, il problema minore della connessione è stato risolto nei commenti.

Prima di cercare di capire se il concetto di compattezza sarebbe potuto venire fuori da solo, dovresti cercare di capire quale aspetto specifico della compattezza ti interessa, quale proprietà "intuitiva" è rappresentata da essa - se questa proprietà è "da qualsiasi copertura è possibile estrarre una sottocopertura finita", allora ovviamente avresti potuto scoprirla da solo, ma non è una proprietà molto intuitiva, quindi non è molto interessante.

Per prima cosa, quindi, cerchiamo di capire cosa intendiamo e cosa vogliamo con il concetto di compattezza (per esempio, questo potrebbe aiutarci a capire perché si chiama "compatto").

È la proprietà di Bolzano-Weierstrass che stiamo cercando di generalizzare ad altri spazi dove abbiamo notato che non è andata altrettanto bene? È la proprietà "chiuso e delimitato"? È una generalizzazione della finitezza? O è semplicemente "qualcosa che condivide le proprietà 'compatte' di $[0,1]$" ? O forse "proprietà che dice che non si va all'infinito"?

Potrei dare una storia diversa a seconda di ciò che ci interessa, ma per me la strada più intuitiva è Bolzano-Weierstrass: l'altro mio preferito è "non andare all'infinito" (che è strettamente legato alla "finitezza", naturalmente), e posso aggiungere qualche parola su questo se vuoi, ma inizierò con Bolzano-Weierstrass perché penso che sia quello che convincerebbe la maggior parte degli studenti che la compattezza è una nozione interessante: Il teorema di BW è un teorema così potente in analisi e con esso si possono dimostrare molte cose fantastiche, è logico che si voglia vedere come si presenta più in generale.

Vedere la fine per un "tldr".

Inoltre, prenderò una strada un po' deviante dal BW alla compattezza, che non è quella che di solito viene presentata agli studenti (almeno quella che è stata presentata a me e ai miei amici). Questa sarà anche una storia completamente inventata.

Sei un giovane matematico e hai imparato un po' di cose in analisi e hai notato questa meravigliosa proprietà di BW che $[0,1]$ che ogni sequenza ha una sottosequenza convergente. Avete anche notato, durante i vostri numerosi incontri con l'analisi, che le sequenze tendono a essere uno strumento molto importante nello studio delle funzioni reali, o anche dei sottoinsiemi dello spazio euclideo.

In effetti, si nota che qualsiasi cosa sembra essere determinata da sequenze, il che rende questa proprietà BW molto più interessante: la continuità può essere determinata osservando le sequenze, così come "essere il complemento di un insieme aperto" (la nozione di insieme aperto è abbastanza naturale: è un insieme che contiene tutti i punti abbastanza vicini a tutti i suoi punti): si è il complemento di un insieme aperto se e solo se qualsiasi sequenza convergente che giace in te converge in te.
Hai usato la proprietà BW un paio di volte qua e là per dimostrare che tale funzione è continua, o che tale funzione ha quel valore, o che è estendibile, ecc.

Un giorno il vostro collega viene da voi con una cosa che sostiene essere uno "spazio". Secondo le definizioni moderne, questo spazio è $beta mathbb N$ lo spazio degli ultrafiltri su $mathbb N$ [it's not important if you don't know what they are - you can do a similar example with many spaces, such as $omega_1+1$ if you know what that is]. Sostengono che la comprensione di questo spazio è importante per tale e talaltro motivo.
Così iniziate a guardarlo per un po' e dimostrate due teoremi che interessano ai vostri colleghi. Dimostrate il primo il lunedì, e venerdì avete dimenticato il suo enunciato preciso e avete dimostrato il secondo, senza pensare al primo, che pensavate fosse "solo un dettaglio tecnico". Sabato, vedete i due teoremi uno accanto all'altro mentre andate dal vostro collega e siete perplessi, perché sembrano contraddirsi a vicenda!

Il primo teorema è: una qualsiasi sequenza di ultrafiltri principali [a special kind of ultrafilter, it's not important to know what they are] che converge in $beta ´mathbb N$ è alla fine costante - in particolare converge a un ultrafiltro principale.

Il secondo teorema è: ogni vicinato aperto di qualsiasi ultrafiltro contiene un ultrafiltro principale. [there are nonprincipal ultrafilters]

Huh. Siete molto abituati all'analisi e quindi pensate che ci sia un problema, ma né voi né il vostro collega riuscite a vedere l'errore nelle vostre prove. Allora cominciate a dubitare di voi stessi e ripassate le vostre conoscenze di analisi: cercate di capire perché, in $mathbb R$, il teorema 2 implicherebbe che qualsiasi ultrafiltro ha una sequenza convergente di ultrafiltri principali ad esso. Ci si rende conto che si sta utilizzando la seguente proprietà: esiste una sequenza numerabile di punti vicini di un qualsiasi punto tale che ogni punto vicino contiene uno di essi. Questo non è vero in $beta mathbb N$ !

Stai pensando di dire che $beta mathbb N$ è quindi solo una patologia che dovresti ignorare, ma il tuo collega continua a dirti che è molto importante per il suo lavoro. In particolare, hanno bisogno del seguente risultato: qualsiasi funzione continua $betamathbb N$ a mathbb R$ è vincolata. Nel vostro mondo, potreste usare le sequenze per avvicinarvi a questo risultato, ma ora vedete che le sequenze non possono risolvere tutto negli spazi "selvaggi", dovete pensare a qualcosa di nuovo.

Ora, l'argomento secondo cui il secondo teorema dovrebbe contraddire il primo non funziona con le sequenze, ma cosa succede se si cambia il significato di sequenza? Dopo tutto, se si indicizzano i punti in base alle vicinanze del punto che si sta cercando di approssimare, allora improvvisamente si ottiene qualcosa che lo approssima davvero.

Mhm, ma si noti che quest'ultima cosa è indipendente da $betamathbb N$ E se nel vostro lavoro sostituiste le sequenze con una nozione più generale di sequenza? Qualcosa che può essere indicizzato da un oggetto più generale di $mathbb N$ ?

Seguendo questa strada, si scopre la nozione di "reti" e si elaborano molte delle loro proprietà. Vedete che sembrano generalizzare le sequenze e hanno proprietà analoghe, anche in spazi patologici come N$ $betamathbb ! Per esempio, la continuità di una funzione può essere determinata osservando le reti, i complementi degli insiemi aperti possono essere caratterizzati anche dalle reti, ecc.

Siete contenti perché avete distrutto le patologie passando dalla nozione di "sequenza" che era preconcetta verso $mathbb N$ alla nozione di "reti", più generale e quasi altrettanto facilmente utilizzabile. Ora è arrivato il momento di mettere alla prova la vostra teoria: come appare la proprietà BW con le reti?

Lavorando ancora un po' sull'esempio di $beta ´mathbb N$ (che il vostro collega vi ha detto che dovrebbe avere la proprietà analoga, per i risultati di cui ha bisogno e che ritiene veri) vi convince che non potete semplicemente prendere un sottoinsieme dell'ordine di indicizzazione per ottenere la vostra proprietà di estrazione, quindi avete bisogno di qualcosa di più sottile. A questo punto si scopre la nozione di sottorete e si definisce l'analoga proprietà BW per le sottoreti.

Con un po' di lavoro, si dimostra che $beta ´mathbb N$ ha effettivamente questa proprietà anlogica e quindi il vostro collega può continuare tranquillamente la sua ricerca.

Ma non siete del tutto soddisfatti: certo, la proprietà BW con le reti è bella e tutto il resto, ma non sembra essere una caratterizzazione intrinseca (nello spazio euclideo abbiamo la caratterizzazione "chiuso delimitato" che è puramente intrinseca). A questo punto ci si accorge che molte proprietà sulle reti possono essere dimostrate prendendo come insiemi di indicizzazione alcuni insiemi di vicini e quindi si gioca con questo, e presto si trova la caratterizzazione intrinseca: infatti si assume di avere una qualche rete $(x_i)_{i\in I}$ e si vuole forzare la convergenza di una sottorete a, ad esempio, $x$. Allora prendiamo l'insieme di coppie $(i,V)$ dove $i in I$ e $V$ è un quartiere di $x$ con $x_i\in V$ (un trucco standard che avrete imparato lavorando sulle reti!). Si ha un'ovvia sottorete associata che dovrebbe convergere a $x$, a meno che non si abbia un qualche intorno $V_x$ con nessun $x_i$ oltre a qualche $i_x$ in esso.

Quindi, se la rete ha effettivamente no convergente, questo accade per ogni in X$ quindi si ha un'intera galleria di aperture $V_x$. Ora si gioca un po' con questo: prendere $xin X$, poi oltre $i_x$ nessuno è in $V_x$. Dove si trova "$i_x+1$"(che non ha senso, ma tu stai solo giocando e quindi lo permetti)? È in un qualche $V_y$ ma non dopo $i_y$ e quindi dopo sono in $V_z$ ma non dopo $i_z$, ecc. ecc.

Quest'ultimo "ecc. ecc." è interessante perché si comincia a chiedersi: "Ehi! Il problema è che questo 'ecc. ecc.' è infinito - se il processo si fermasse a un certo punto, otterrei una contraddizione, quindi la mia rete avrebbe una sottorete convergente!". Ok, ma questa è una rete data. La copertura $(V_x)$ può essere più o meno selvaggia se la rete varia, l'unica cosa che non cambia è che copre l'intero spazio.

Quindi, per assicurarsi che ogni rete abbia una sottorete convergente, è necessario garantire che per qualsiasi copertura (selvaggia o meno) il processo si fermi. Questo significa proprio che esiste una sottocopertura finita. Ora voi dite "Beh, da quello che ho fatto, è abbastanza chiaro [i.e. I will find a proof soon] che se ho questa strana proprietà sulle coperture, ho la mia proprietà sulle reti!"; e dopo aver riflettuto un po' si usa di nuovo uno dei soliti trucchi per passare da una copertura a una rete per vedere che c'è un contrario di questa affermazione: si è trovata la caratterizzazione intrinseca della proprietà BW generalizzata.

Ora si dimostra (molto più facilmente) che N$ $betamathbb ha questa proprietà di copertura, così come $mega_1+1$ ecc. e si dimostra l'equivalenza nel caso speciale delle sequenze per lo spazio euclideo (o, in effetti, per gli spazi metrici).

Purtroppo lungo la strada non abbiamo imparato perché si chiama compatto. Credo che il punto di vista del "via all'infinito" sia il migliore per spiegare questo nome.

$mathbf{tldr}$ : Ora ho fatto una cosa abbastanza lunga, ma credo che il punto principale da ricordare sia il seguente: la nozione di compattezza per gli spazi generali può essere vista come una riformulazione della proprietà di Bolzano-Weierstrass in un contesto in cui comprendiamo che le sequenze non caratterizzano tutto negli spazi più generali. Vedere l'equivalenza tra "net-BW" e "finite cover" è abbastanza semplice, il problema è passare da BW a net-BW, cioè capire perché si passa dalle sequenze alle reti (o ai filtri, ma ho preferito passare alle reti qui perché sono più intuitive per gli studenti).

Si noti che, al contrario delle sequenze, le reti fare caratterizzano tutto ciò che è in vista, anche negli spazi patologici (continuità, chiusura, compattezza, ecc.).

È importante ricordare che le definizioni non sono una cosa universale che ci viene data da poteri superiori e che dobbiamo scoprire. Non sono nemmeno qualcosa che ci viene in mente. Sono scelte fatte dagli esseri umani in base a tutti riformulazioni equivalenti della stessa proprietà. Ogni riformulazione equivalente può essere considerata come la definizione di una proprietà. Di solito si sceglie la riformulazione più breve o più comoda da utilizzare. Quindi la domanda è: come si fa a capire che una certa riformulazione della compattezza è conveniente? Prima di questo dovreste anche decidere perché vi interessa la compattezza e perché è una proprietà interessante, tanto da doverne trovare una definizione conveniente.

Ora parliamo delle vostre nozioni:

Continuità:
Mi permetta di notare che la sua definizione di continuità è per le funzioni $mathbb{R} a mathbb{R}$ ma non nella piena generalità degli spazi topologici. Vale la pena di ricordare che il calcolo esisteva già da molti anni prima che si arrivasse a una bella $varepsilon-$ delta$ definizione di limite e definisse le derivate nel modo in cui lo fanno i libri moderni. La ragione per cui questa definizione è rimasta in vigore è perché è comoda da usare. Ebbene, per molti argomenti di continuità è ancora più comodo usare la definizione topologica (la preimmagine di qualsiasi insieme aperto è aperta). Questa definizione non sembra certo naturale per un liceale e non sono sicuro che dia più intuizione di quanto non ne dia la definizione di "continuità". $varepsilon-delta$ o se catturi l'"essenza" della continuità. Si potrebbe averla scoperta se si studiassero spazi topologici astratti (ma perché farlo?). L'unico modo in cui potrei giustificare la definizione topologica è che, dopo aver provato a lavorarci, ci si accorga che questa definizione dà luogo a prove più eleganti rispetto a $varepsilon-delta$ una.

Compattezza: storia simile. Per motivare il fatto che la compattezza è una nozione importante, si potrebbe definire insiemi compatti per essere insiemi su cui qualsiasi funzione continua raggiunge il suo minimo (certamente per i sottoinsiemi di $mathbb{R^n}$ è equivalente alla compattezza nel senso usuale). Si tratta certamente di una nozione importante per chi si occupa di minimizzare le funzioni della vita reale (che sono continue). Ora, potreste chiedervi: è questa la caratteristica più importante della compattezza che cattura tutto, a cui i vostri studenti dovrebbero sempre pensare? Probabilmente no, ma non so come si possano confrontare queste cose. Il punto è che essere un insieme compatto equivale a un miliardo di cose diverse, e per persone con interessi diversi una è più importante dell'altra.

Quando si lascia che uno studente dimostri che gli insiemi chiusi e delimitati sono tali, molto probabilmente cercherà di farlo estraendo sottosequenze convergenti, quindi si vede che la definizione "ogni sequenza ha una sottosequenza convergente" è utile. Quando poi si cerca di mostrare altre caratteristiche degli insiemi compatti, si nota che si continua a usare lo stesso argomento dell'estrazione delle sottosequenze. È così che si decide che questa dovrebbe essere una definizione di insieme compatto. Analogamente alla definizione topologica di continuità, trovo difficile giustificare il motivo per cui si dovrebbe usare questa definizione, prima di provare ad approfondire la dimostrazione e vedere che è conveniente. Poi si fanno altre prove di cose che si ritengono importanti e si vede che molte volte è necessario estrarre una sottocopertura finita. Quale sarebbe il primo esempio di questo tipo che gli studenti vedono? Non ha importanza. Quindi, se aveste cercato di rispondere a domande relative alla compattezza, sono sicuro che avreste scoperto l'argomento dell'estrazione di sottocoperture finite, e dopo averlo fatto molte volte avreste potuto pensare di usarlo come definizione di compattezza.

Dal momento che non conosciamo tutte le riformulazioni equivalenti dell'essere un insieme compatto, è possibile che non abbiamo ancora scoperto la definizione migliore, che farà più luce sul significato di compattezza. Quindi si può scoprire? Non lo so.

Solo per fare un esempio, si pensi al seguente fatto molto elementare: l'immagine di qualsiasi insieme compatto sotto una funzione continua è compatta. Provate a dimostrarlo usando varie definizioni (di compattezza e di continuità) e vedete quale è più elegante.

Un altro bell'esempio è quello dei gruppi amenabili. Hanno molte definizioni equivalenti (sicuramente a due cifre, ma forse più di 100). Ogni nuova definizione è un teorema. Molte definizioni sono molto naturali quando si studia una loro proprietà, ma inutili quando si studiano altre proprietà. Molti matematici hanno intuito una definizione ma non altre, a seconda delle loro aree di competenza. Voi o altri siete in grado di scoprire tutte o alcune di queste definizioni/teoremi? Se foste interessati a un problema, tale da far emergere la definizione pertinente nel contesto di quel problema, e aveste competenze adeguate, allora la risposta sarebbe sì.

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