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Procedura rigorosa di incollaggio di due spazialità

Questo scritto è stato analizzato dai nostri esperti in modo da avere la garanzia della veridicità di questo tutorial.

Soluzione:

Ragazzi, siete fortunati perché è uno dei miei argomenti preferiti!

Hai ragione, non c'è molta letteratura sull'argomento del trattamento rigoroso dell'incollaggio dello spaziotempo. C'è un'intera pila di articoli e libri da consultare per avere un quadro unitario di ciò che comporta. A proposito, non è particolarmente rigoroso, ma è una buona idea consultare l'articolo di Synge sull'argomento, poiché è uno dei primi e non presuppone alcuna nozione preesistente sull'argomento.

Prima di tutto, consideriamo l'argomento dell'incollaggio dei collettori. Incollare i collettori può riferirsi a due cose diverse: o si individuano i punti di una frontiera, o i punti di un insieme aperto. In la maggior parte contesti in GR, stiamo parlando di identificare punti di confine, quindi concentriamoci su questo. Alcuni buoni riferimenti sull'argomento sono Wall e Milnor.

In generale, l'incollaggio di manifold si riferisce a due manifold con confini, ma per amore di generalità, parlerò dell'incollaggio di un singolo manifold (possibilmente disconnesso), che dà applicazioni più generali.

Si prenda un manifold $M$ che contiene due elementi connessi $S_1$ e $S_2$ nel suo confine $parziale M$. $S_1$ e $S_2$ sono diffeomorfi. Per il teorema del vicinato collare, entrambi questi confini hanno un vicinato collare, cioè un vicinato diffeomorfo a $S_i i tempi <0,1>$ (in pratica si definisce una metrica Riemanniana sul manifold e si fa una mappa di geodetiche ortogonali al confine). Abbiamo due mappe :

$$c_i : S_i times <0,1> a a M$$

Poiché i confini sono essi stessi manifold, si può anche prendere l'atlante dei confini per formare una mappa

$$c_i : mathbb{R}^{n-1} times <0,1> math{R}^{n-1} a M$$

Questo sarà utile per formare l'atlante in seguito. Prendiamo una funzione di incollaggio $h$ definita come un diffeomorfismo

$$h : S_1 ´a S_2$$$

e quindi definire una relazione di equivalenza

$$sim_h = left{ (p,q) | text{se $p in S_1$ e $q in S_2$, $h(p) = q$, altrimenti $p = q$} right}$$

Il manifesto incollato è quindi il quoziente

$$bar{M} = M / sim_h$$$

È possibile dimostrare che si tratta di un manifold. Ogni punto del manifold originale appartiene allo stesso atlante di prima, quindi dobbiamo solo fare un grafico per la giunzione, che può essere fatto considerando i due vicini collimati e la mappa

begin{equation}
begin{array}{[email protected]{}l}

(x, r) &{}mapsto c(x,r) = begin{cases}
c_1(x,r) & r ´geq 0 ´
c_2(h(x),-r) & r leq 0
´fine{cases}
´fine{array}
´fine{equazione}

La sovrapposizione con altri grafici avviene solo per $r > 0$ o $r <0>$ in modo che la transizione sia sempre liscia. Abbiamo quindi un manifesto liscio.

Se vogliamo ottenere l'incollaggio di un manifold che ha già una metrica su di esso, le cose si complicano. Dobbiamo incollare non solo il manifold, ma anche il fascio di tensori. Se il manifold originale ha un qualche fascio tensoriale $(T^r_sM, M, pi)$ allora considereremo il manifold incollato

$$T^r_s M / sim_psi$$

dove $psi$ è analogamente un diffeomorfismo sul confine di $T^r_s M$, tale che $psi = h_*$, il pushforward di $h$, incollando i confini $pi^{-1}(S_i)$ insieme. La metrica originale $g$ dà origine a una metrica continua $bar{g}$ se $h_* g(S_1) = g(S_2)$. Potete trovare ulteriori dettagli sull'argomento in Takiguchi.

Da questo punto in poi, abbiamo a che fare con un $C^0$ metrica per la maggior parte del tempo (suppongo che tecnicamente si potrebbe anche trattare una metrica discontinua se si volesse, ma per quanto ne so nessuno se ne preoccupa). Questa è una cattiva notizia per tutta una serie di ragioni e da questo punto in poi le cose si fanno terribili. Da quel momento in poi non possiamo più utilizzare la maggior parte della geometria differenziale così come viene normalmente insegnata.

In primo luogo, poiché la metrica è semplicemente continua, non possiamo assumere la differenziabilità, per cui dobbiamo ricorrere alle derivate deboli, la cui teoria si trova in Geroch e Traschen. In parole povere, assumendo tutte le cose orientabili (in modo che l'integrazione sui campi tensoriali abbia senso), definiamo i campi di prova tensoriali nello stesso modo di quelli scalari. Un campo di prova tensoriale $mathfrak{t}$ è una densità tensoriale di peso $-1$ e di rango $(r,s)$ con supporto compatto, in modo tale che esista un sottoinsieme compatto $Omega$ di $M$ tale che

$$mathfrak{t}(M ´setminus ´Omega) = 0$$

Una distribuzione tensoriale di rango $(s,r)$ è quindi un funzionale lineare di densità tensoriali di rango $(r,s)$ a $mathbb{R}$.

begin{array}{[email protected]{}l}
T : mathscr T^r_s(M) &{}per mathbb{R}$
mathfrak{t} &{}mapsto T(mathfrak{t})
fine{array}

Analogamente alle distribuzioni, qualsiasi campo tensore $T ´in T^s_r$ può essere mappato a una distribuzione tramite la mappa

begin{equazione}
T[mathfrak{t}] = int {T^{abc.}_{alphabetagamma.} {mathfrak{t}^{alfabetagamma.}}_{abc.}
fine{equazione}

Considereremo poi la classe di metriche di Geroch-Traschen: se una metrica è localmente vincolata, $C^0$, ammette un'inversa anch'essa localmente vincolata e la sua derivata prima debole è localmente integrabile al quadrato, allora appartiene alla classe di Geroch-Traschen. Si può verificare che ciò significa che il tensore di Riemann è una distribuzione tensoriale.

C'è un teorema (che si trova nel suddetto articolo) che dice che, data una metrica distribuzionale di questa classe, la distribuzione della materia deve essere concentrata su un'ipersuperficie, il che è abbastanza bello perché è quello che otterremo qui. Se la metrica fosse meno regolare dovremmo avere a che fare con cose ancora peggiori, come le algebre di Colombeau, come può accadere per cose come le distribuzioni di stringhe.

Va bene, allora. Come ha accennato A.V.S., l'articolo di Mars e Senovilla sull'argomento è un ottimo articolo per ciò che accade alla metrica a questo punto, così come Clarke e Dray. Avrete notato che, dalla zona di coordinate intorno alla giunzione, abbiamo una coordinata $r in (-1,1)$ tale che i suoi valori negativi si trovano interamente nella prima regione della giunzione, mentre i valori positivi si trovano nella seconda. Su tale patch, possiamo definire la metrica come

$$g = xi^+ g^+ + xi^- g^-$$

dove $g^{pm}$ è il valore della metrica nella prima/seconda regione della giunzione, e $moltiplicatore di massa è una funzione indicatore, tale che $xi^+ = theta(r)$ e $xi^- = (1 - theta(r))$, $theta$ la funzione passo passo tale che $theta(0) = 1/2$.

Le derivate della metrica sono quindi

$$g_{ab,c} = theta(r) g^+_{ab,c} + (1 - theta(r)) g^-_{ab,c} + theta_{,c}(r) (g^+_{ab} - g^-_{ab})$$

Per continuità, il terzo termine scompare poiché le due quantità sono uguali sul supporto di $Teta_,c$. Da qui possiamo definire i simboli di Christoffel come

$${Gamma^a}_{bc} = theta(r) {Gamma^{a}}^+_{bc} + (1 - theta(r)) {Gamma^{a}}^-_{bc}$$

Consideriamo ora le coordinate in modo un po' più dettagliato per comodità. Abbiamo un'ipersuperficie $S_1 ´sim S_2$ con un sistema di coordinate $x_i ´in ´mathbb{R}^{n-1}$, così come la coordinata $r$ definita dalla distanza da tale ipersuperficie lungo le geodetiche ortogonali. Supponiamo che l'ipersuperficie sia simile al tempo e che il vettore normale $n^mu$ sia spaziale (lo faccio perché è il caso di tutti i miei spazi preferiti). Il processo è molto simile se è invertito, e un po' più complesso se è nullo).

Da Clarke e Dray, si può verificare che esiste una prova piuttosto lunga e noiosa nella sezione 3 in cui si può costruire un sistema di coordinate locali tale che, in questo atlante, la metrica è della forma

$$ds^2 = dr^2 + {}^{(n-1)}g_{ab} dx^a dx^b$$$

con $x$ corrispondenti alle coordinate sull'ipersuperficie per $r = 0$.

Questo ci aiuta perché ci permette di calcolare la discontinuità della derivata come

begin{equation}
[g_{ab,c}] = gamma_{ab} n_c
´fine{equazione}

per un tensore $gamma$. Si ha quindi che la discontinuità dei simboli di Christoffel è

begin{equazione}
[{Gamma^sigma}_{munu}] = n_mu {gamma^sigma}_nu + n_nu {gamma^sigma}_mu - n^sigma gamma_{munu}
fine{equazione}

E, attraverso alcuni calcoli aggiuntivi, il tensore di Ricci e lo scalare di Ricci finiscono come

begin{equation}
R_{munu} = xi^+ R^+_{munu} + xi^- R^-_{munu} + delta rho_{munu}
fine{equazione}

begin{equation}
R = xi^+ R^+ + xi^- R^- + delta (n^mu n^nu gamma_{munu} - n^mu n_mu {gamma^nu}_nu)
fine dell'equazione

con

begin{equazione}
rho_{{munu} = 2 n^sigma gamma_{sigma(mu} n_{nu)} - n^sigma n_{sigma gamma_{munu} - n_{mu n_nu {gamma^sigma}_sigma
fine{equazione}

che porta al tensore sforzo-energia come

begin{equation}
T_{munu} = xi^+ T_{munu}^+ + xi^- T_{munu}^- + delta tau_{munu}
fine{equazione}

con la discontinuità

begin{equation}
tau_{munu} = n^sigma gamma_{sigma(mu} n_{nu)} - frac{1}{2}[n^sigma n_sigma gamma_{munu} + n_mu n_nu {gamma^sigma}_sigma + g_{munu } (n^sigma n^rho gamma_{sigmarho} - n^sigma n_sigma {gamma^rho}_rho)]
fine dell'equazione

Le nostre prove e tribolazioni sono ben lungi dall'essere finite, purtroppo. Forse sapete che un aspetto molto importante degli spaziali è l'esistenza di un vicinato convesso normale, garantito dall'esistenza e dall'unicità delle geodetiche in un vicinato sufficientemente piccolo, garantito anche dal fatto che la connessione è continua di Lipschitz. Questo non è più il caso, e sarebbe meglio arrivare a dimostrarlo qui se non vogliamo buttare via la maggior parte della relatività generale.

Sfortunatamente, l'equazione geodetica in questo caso è in pessima forma, poiché è della forma

$$dot{y}(lambda) = F(y(lambda))$$

con $y = (x^mu, u^mu)$ e $F(y) = (u^mu, -{Gamma^mu}_{alphabeta}(x^mu) u^alpha u^beta)$, in modo che $F$ è discontinuo rispetto a $y$. Esiste fortunatamente una teoria per trattare equazioni differenziali così patologiche, che è la teoria dell'inclusione differenziale di Filippov. L'idea di base è che, piuttosto che trovare un'uguaglianza per la derivata della soluzione (che potrebbe essere mal definita nelle discontinuità), si richiede solo che la soluzione stessa sia continua (sarebbe strano avere delle geodetiche discontinue) e che appartenga a qualche sottoinsieme :

$$dot{y}(lambda) ´in mathcal{F}[F](y(lambda))$$

dove si ha l'essenziale scafo convesso della nostra funzione :

$$$mathcal{F}$sinistra[Fright](y) = bigcap_{delta > 0} bigcap_{mu(S) = 0} ´overline{operatorname{co}}(F(B(y, delta) setminus S))$$

Questo significa che stiamo prendendo il più piccolo intervallo di valori intorno a quel punto. Per esempio, la cosa più importante per noi, $Mathcal{F}[theta(0)] = [0,1]$.

È abbastanza difficile trovare molti teoremi sull'argomento, ma siamo fortunati perché oltre a una bella introduzione sull'argomento, abbiamo anche alcuni teoremi [1][2] per gli spazi con tali connessioni. Il più importante è quello secondo cui, dato uno spaziotempo con una connessione $C^{0,1}$ (metrica continua di Lipschitz), allora l'equazione geodetica ha effettivamente alcune soluzioni che sono $C^1$ curve. Data una maggiore regolarità, possiamo persino assicurare che l'unicità.

Per quanto ne so, non esiste alcuna prova che per qualsiasi incollaggio di uno spaziotempo questa regolarità sia garantita, ma sembra che sia vera almeno per alcuni di essi.

Ci sono probabilmente molte altre cose che si potrebbero dire sull'argomento degli spazi incollati, ma i riferimenti forniti dovrebbero essere una fonte sufficiente per trovare altre informazioni sull'argomento. Di maggiore o minore rigore, raccomando anche Visser e Poisson sull'argomento.

Puoi aggiungere valore ai nostri contenuti collaborando con la tua anzianità nelle spiegazioni.



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