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Razzi nel vuoto vs. Razzi sulla terra

Raccogliamo dal mondo online per darti la risposta al tuo dubbio, se hai qualche domanda, lascia la domanda e ti risponderemo con piacere, perché siamo qui per servirti.

Soluzione:

Consideriamo l'energia $E_1$ necessaria per sottrarre $1$kg alla gravità terrestre. Questa è data da:

$$ E = frac{GM}{r} $$

dove $r$ è il raggio della Terra, che risulta essere circa:

$$E_1 = 6,3 times 10^7 ,text{J} $$

Ora consideriamo l'energia $E_2$ necessaria per accelerare quel $1$kg a $0,99c$. L'energia totale è data dall'equazione relativistica dell'energia:

$$ E^2= p^2c^2 + m^2 c^4 $$

Se calcoliamo questo valore per $1$kg a $0,99c$ e sottraiamo l'energia di riposo $mc^2$ otteniamo circa:

$$ E_2 = 5,4 times 10^{17} ,text{J} $$

Quindi l'energia necessaria per allontanarsi dalla gravità terrestre, $E_1$, è circa $0,000000012%$ dell'energia, $E_2$, necessaria per raggiungere la velocità finale. Ecco perché la differenza tra le energie di accelerazione e decelerazione è trascurabile.

Un ragionamento simile vale per la resistenza dell'aria. Per arrivare a $0,99c$ con un'accelerazione sopravvissuta, cioè dell'ordine di $g$, la maggior parte dell'accelerazione verrebbe effettuata dopo aver lasciato l'atmosfera. Quindi anche l'effetto della resistenza dell'aria sarebbe trascurabile.

Le risposte precedenti sono corrette; vorrei solo contribuire con una spiegazione più "parlata", meno tecnica (e quindi anche meno accurata, devo notare). (I punti più alti sono in in grassetto.)

Se ho capito bene, quello che non vi è chiaro è perché l'insegnante dice che l'energia richiesta è "la stessa" per partire dalla Terra e per fermarsi ad A Centauri. Se non è questa la parte che vuoi sapere, correggimi.

Supponendo che sia quello che vuoi sapere: L'attrito dell'atmosfera e l'attrazione della gravità terrestre sono abbastanza insignificanti rispetto all'energia necessaria per accelerare a 0,99c, e mi sembra che il vostro insegnante stesse parlando di in termini concettuali, piuttosto che fornire un calcolo preciso. Cioè, non credo che volesse dire che le energie per l'accelerazione e la decelerazione sono esattamente uguali; piuttosto, che sono "ampiamente uguali". In questo senso, erano essenzialmente corretti.

Quello che probabilmente il vostro insegnante non ha considerato (forse perché non voleva complicare ulteriormente l'esempio) è che se la nave ha bisogno di trasportare del carburante (ad esempio per un razzo), essa si alleggerisce continuando a bruciare il carburante e quindi l'energia necessaria per raggiungere una particolare accelerazione/decelerazione (sono le stessee; la decelerazione è solo un'accelerazione nella direzione opposta, detto in parole povere) diminuisce, in quanto l'energia richiesta per un'accelerazione costante è una funzione della massa dell'oggetto da accelerare.

Pertanto, la nave richiederebbe in realtà meno energia per decelerare di quella richiesta per accelerare, se è alimentato da un motore a razzo o da qualche altro motore che consuma quantità significative di carburante. Un ipotetico motore nucleare o a fusione, d'altra parte, probabilmente consumerebbe il carburante molto più lentamente (perché ottiene molta più energia dalla combustione di una data quantità di carburante, quindi ha bisogno di bruciare meno massa di carburante in generale per fare il viaggio), e quindi la massa della nave cambierebbe meno nel corso del viaggio e quindi anche le quantità di energia necessarie per accelerare e decelerare sarebbero più vicine alla parità; forse molto più vicine che con un razzo.

Tornando alla gravità planetaria e alla resistenza atmosferica: In un atmosfera simile alla Terra, la quantità di resistenza aerodinamica prodotta (specialmente nei soli ~100 km di spessore dell'atmosfera che la nave deve attraversare dalla superficie allo spazio) è minuscola rispetto all'energia necessaria per arrivare a 0,99c.

Gravità planetaria ha un effetto un po' più grande, ma ancora una volta, trascurabile rispetto all'energia necessaria per accelerare alla velocità finale. E come nel caso dell'atmosfera, il gravità diventa più debole quanto più ci si allontana dal pianeta, attenuandosi fino a diventare praticamente nulla entro poche migliaia di chilometri (il che è praticamente una distanza pari a zero rispetto a un viaggio lungo circa 40.000.000.000.000 di km).

Infine, a meno che il vostro insegnante non abbia indicato diversamente, non c'è motivo di supporre che la destinazione non sia un pianeta simile alla Terra. (Sappiamo che non ce ne sono di simili nel sistema di A Centauri, ma questo era un esempio teorico). Se lo è, allora sia la gravità che la resistenza atmosferica a destinazione saranno paragonabili a quelle della Terra., rendendo la situazione simmetrica da questo punto di vista.

Realisticamente, se la destinazione è un pianeta roccioso delle dimensioni della Terra (come Alpha Centauri Cb, alias Proxima Centauri b), allora avrà più o meno la gravità terrestre. Anche se non ha un'atmosfera (al momento non possiamo dirlo di A Cen Cb), il attrazione gravitazionale è molto più grande dell'attrito atmosferico per condizioni simili a quelle della Terra; cioè, la situazione rimarrebbe almeno in gran parte simmetrica.

Spero che questo vi chiarisca un po' le idee.

Mike

EDIT: A proposito degli effetti relativistici: Sono non sono molto importanti per la tua domanda. Sarebbero ovviamente presenti, ma poiché sono simmetrici per la fase di accelerazione e decelerazione del viaggio, e aumentano di grandezza man mano che la velocità si avvicina a c, hanno nessun impatto reale sulla potenziale asimmetria dei requisiti energetici per il "decollo" e l'"atterraggio"., poiché in entrambe le fasi la nave andrà incredibilmente piano rispetto alla velocità della luce.

Per quanto riguarda gli "effetti relativistici", in realtà fanno: In parole povere, l'energia necessaria per ottenere la stessa accelerazione per la nave aumenta con l'avvicinarsi della velocità della nave stessa. c; molto vicino a c, gli aumenti diventano enormi. (Sarebbero infiniti a c, il che è, in parole povere, il motivo per cui nessun oggetto massiccio può effettivamente raggiungere c, ma solo avvicinarsi a una frazione arbitrariamente vicina.) Per 0,99c, la nave accelererebbe come se la sua massa fosse circa 7 volte più grande di quanto non sia "effettivamente".

Il motivo: perché la massa della nave in realtà sarebbe più alta, almeno dal punto di vista di un osservatore rispetto al quale la nave sta facendo 0,99c. L'energia è in definitiva la stessa cosa della massa e un oggetto in movimento ha energia cinetica; l'energia cinetica a 0,99c è così alta da "pesare" circa 6 volte la massa "normale" della nave (cioè la massa a riposo).

Quindi, in questo caso, gli effetti relativistici aumentano l'energia complessiva necessaria per compiere il viaggio, ma poiché sono (effettivamente) assenti nelle fasi di "decollo" e "atterraggio" su cui si concentra la vostra domanda, servono solo per diminuire ulteriormente l'importanza relativa delle energie di decollo e di atterraggio come proporzione del costo energetico totale del viaggio.

Non bisogna però commettere errori, anche escludendo gli effetti relativistici (che non è fisico, cioè è solo un esperimento di pensiero) l'energia per lasciare / entrare in un'atmosfera planetaria / pozzo gravitazionale è ancora insignificante rispetto all'energia necessaria per il resto del viaggio verso 0,99c e ritorno.

Questa è la spiegazione migliore che posso dare senza spiegare il concetto di base di relatività speciale per intero, che è ben oltre lo scopo di questo post.

L'enorme quantità di energia è richiesta per raggiungere una velocità vicina a quella della luce, anche se lo spazio interstellare è quasi vuoto.
Consideriamo le quattro forze in SR (relatività speciale)
$F^mu = dP^mu / dtau = m dU^mu / dtau $ (1)
dove:
$F^mu$ a quattro forze
$P^mu$ quadrimomento
$m$ massa a riposo (propria)
$U^mu$ quadrivocità
tempo proprio
Tuttavia $d / dtau = gamma d / dt$ dove il fattore di Lorentz $gamma = dt / dtau = 1 / sqrt{1-v^2/c^2}$ e $v$ è la tri-velocità, quindi la (1) può essere scritta
$F^mu = gamma m dU^mu / dt$
Quando la velocità $v$ si avvicina alla velocità della luce, il fattore $gamma$ aumenta verso l'infinito e la forza necessaria per spingere l'astronave ne consegue, richiedendo una conseguente quantità di energia. Lo stesso ragionamento vale quando deve decelerare.
Nota: l'argomentazione è semplificata assumendo che la massa a riposo sia costante. Naturalmente, per spingere una navicella alla velocità desiderata è necessario consumare carburante, riducendo così la massa; tuttavia, il punto è evidenziare la ragione fondamentale per cui un viaggio a velocità prossime a quella della luce richiede un'enorme quantità di energia. Questa è una peculiarità della SR, che non si ritrova nella meccanica newtoniana.

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