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Statistiche di spin dal gruppo fondamentale di $SO(D)$

Dopo aver consultato esperti in materia, programmatori di vari rami e professori, abbiamo trovato la soluzione al dilemma e la lasciamo riflessa in questa pubblicazione.

Soluzione:

Ho studiato la topologia algebrica da un punto di vista matematico, quindi posso solo provare a spiegare l'interpretazione fisica.

A cominciare dalla matematica. Il gruppo fondamentale associato a uno spazio topologico puntato è un insieme di classi di equivalenza di anelli chiusi (sotto omotopia). Ma cosa significa questo? Iniziamo con le basi.

  • UN spazio topologico$X$ è una struttura matematica generale dotata della nozione di continuità e convergenza (e eccetera.).

  • UN spazio topologico appuntito è solo il vecchio spazio topologico $X$ora dotato di un punto scelto $ain X$. Uno scrive questo come $sinistra(X,adestra)$.

  • Perché abbiamo bisogno di uno spazio topologico puntato? Perché allora possiamo guardare loop con inizio e fine alle $a$. Queste sono funzioni continue $gamma :[0,1]rightarrow X$ insieme a $gamma(0)=gamma(1)=a$.

Quei loop sono interessanti, perché puoi collegarli uno dopo l'altro

$$(gamma_{1}astgamma_{2})(t)=left{begin{matrix}gamma_{1}(2t) & 0leq tleqfrac{1}{ 2}\ gamma_{2}(2t-1) & frac{1}{2}< tleq 1end{matrix}right.$$

e puoi trovare il loro inverso (attenzione! questo non è corretto, vedi sotto)

$$gamma^{-1}(t)=gamma(1-t)$$

Hai anche un elemento di identità

$${rm id}(t)=a$$

Pertanto, hai qui (quasi) una struttura di gruppo. Affinché questo sia un gruppo, non puoi davvero considerare tutti i loop come diversi: devi considerare due loop $gamma_{1}$ e $gamma_{2}$ essere lo stesso, se puoi deformare $gamma_{1}$ in $gamma_{2}$ continuamente. Questo è noto come un omotopia. Una grande illustrazione di questo è disponibile in questa pagina di Wikipedia. Lo allego anche qui

inserire la descrizione dell'immagine qui

I matematici chiamano questo tipo di "considerare due oggetti uguali" con il nome relazione di equivalenzae questo risulta in classi di equivalenza. Indichiamo ora con $[gamma_{1}]$ tutti i cicli che sono equivalenti a $gamma_{1}$ sotto la relazione di omotopia. L'insieme di tutti quei loop

$$pi_{1}(X,a)=sinistra{[gamma]|gamma : [0,1]rightarrow X,: gamma(0)=gamma(1)=aright}$$

si chiama il gruppo fondamentale. Ora tornando all'inverso di un ciclo, prova a pensare perché

$$gamma^{-1}astgammaneq{rm id}$$

ma infatti

$$[gamma^{-1}]ast[gamma]=[{rm id}]$$


Qualche esempio

  • Permettere $X=mathbb{R}^3$, cioè lo spazio 3D e scegliere $a=0$ essere l'origine. Puoi immaginare di poter ridurre ogni anello $mathbb{R}^{3}$ a un punto, quindi tutti i cicli sono equivalenti. Ciò significa che $pi_{1}(mathbb{R}^3,0)={{rm id}}$ è banale.

  • Permettere $X=S^{1}$la circonferenza unitaria e scegli $a=(1,0)$. Si noti che ogni ciclo è caratterizzato da quante volte circonda l'origine. Questo è un numero intero noto come numero di avvolgimento. Quindi, ad esempio, hai un ciclo che circonda l'origine una volta in senso antiorario ($=1$) e hai un ciclo che circonda l'origine due volte, ma in senso orario ($=-2$) e così via. Perciò $pi_{1}(S^{1},(1,0))=mathbb{Z}$.


Esempi più rilevanti

  • Notare che ${rm COSÌ}(1)={1}$quindi ovviamente $pi_{1}({rm SO}(1))={{rm id}}$ è banale.

  • Per ${rm COSÌ}(2)$puoi sostenere che è lo stesso di $S^{1}$nel senso che le rotazioni in 2D sono equivalenti a $e^{itheta}$, che formano la circonferenza unitaria. così $pi_{1}({rm SO}(2))=mathbb{Z}$.

  • Per ${rm COSÌ}(3)$ogni rotazione può essere ottenuta dando il asse di rotazionecon è un punto sulla sfera $S^{2}$e l'angolo di rotazione, che è in $S^{1}$. Si noti, tuttavia, che $(boldsymbol{n},theta)sim(-boldsymbol{n},-theta)$ sono rotazioni equivalenti. Questo risulta essere equivalente a qualcosa noto come il vero spazio proiettivo ${rm RP}^{3}$che ha $pi_{1}({rm SO}(3))=pi_{1}({rm RP}^{3})=mathbb{Z}_2$.


Ora alla fisica! Cosa importa alla fisica dei loop in ${rm COSÌ}(D)$? Permettere $t$ denotare il tempo. Come possiamo descrivere lo scambio di due particelle? La risposta è da una curva $gamma : [0,1]rightarrow {rm COSÌ}(D)$ che descrive la rotazione delle due particelle nel frame del centro di massa. Questo è un ciclo, perché una rotazione completa di $2pi$ equivale a non fare nulla. Pertanto, il numero di anelli topologicamente distinti è di fatto il numero delle diverse statistiche possibili. Vedi anche la seguente bellissima illustrazione tratta da questa pagina di Wikipedia.

Rotazione antiorariaRotazione oraria

Rotazione antioraria $qquadqquadqquad$ Rotazione oraria

Per citare la didascalia di questa figura da Wikipedia

Scambio di due particelle in $2 + 1$ spaziotempo per rotazione. Le rotazioni sono inequivalenti, poiché l'una non può essere deformata nell'altra (senza che le linee d'universo lascino il piano, cosa impossibile in $ 2D $ spazio).

La risposta di @eranreches è stata pubblicata prima che pubblicassi questa. Ho solo una cosa da aggiungere qui, vale a dire un modo diverso di dedurre che il gruppo fondamentale di $SO(D)$ ha esattamente due elementi quando $Dgeq 3$. L'approccio qui utilizzato è anche collegato alla fisica in modo interessante, perché si basa sulle proprietà del gruppo di copertura di $SO(D)$, che descrive come si trasformano gli spinori. (Questa risposta non usa gli spinori, ma usa il gruppo di copertura.)

In tutta questa risposta, $D$ si presume essere $Dgeq 3$.

In parole povere, il gruppo fondamentale di una varietà $M$ è l'insieme delle mappe continue dal cerchio $S^1$ in $M$, modulo deformazioni continue, dotato di una struttura di gruppo come spiegato in dettaglio da eranreches. Dicendo che il gruppo fondamentale di $SO(D)$ ha esattamente due elementi equivale a dire che ogni loop in $SO(D)$ può essere continuamente deformato in uno dei due anelli rappresentativi e che questi due anelli rappresentativi non possono essere continuamente deformati l'uno nell'altro. Nella consueta rappresentazione di $SO(D)$ da matrici di dimensione $Dvolte D$possiamo considerare questi due anelli rappresentativi come tali
$$ L_1: e^{itheta}rightarrow text{matrice identità} $$
e
$$ L_2: e^{itheta}rightarrow text{Rotazione dell'angolo $theta$ nel piano $x$-$y$}. $$
Qui, $e^{itheta}$ denota un elemento del cerchio $S^1$parametrizzato da $0leqtheta< 2pi$. La mappa $L_1$ invia ogni punto di $S^1$ allo stesso punto di $SO(D)$, cioè alla matrice identità. Entrambe le mappe descrivono circuiti chiusi, perché entrambe iniziano ($teta=0$) e fine ($theta=2pi$) nella matrice identità in $SO(D)$.

  • Prima affermazione: Ogni giro dentro $SO(D)$ può essere continuamente deformato in entrambi $L_1$ o $L_2$.

  • Seconda affermazione:$L_2$ non può essere continuamente deformato $L_1$.

Insieme, queste due affermazioni implicano che il gruppo fondamentale di $SO(D)$ ha esattamente due elementi. (Richiama questo $Dgeq 3$ in tutta questa risposta.) Per dedurre entrambe queste affermazioni, si consideri il gruppo di copertura Spin($D$) di $SO(D)$. Un modo per costruire questo gruppo di copertura è delineato in un altro post:

  • Qual è la relazione tra il gruppo di Lorentz e l'algebra CL(1,3)?.

I fatti importanti qui sono:

  • Il rivestimento è due a uno. Data una fedele rappresentazione matriciale di Spin($D$), gli elementi $pm I$ in rotazione($D$) corrispondono entrambi a $I$ in $SO(D)$dove $I$ denota le rispettive matrici identità.

  • Ogni giro dentro $text{Rotazione}(D)$ può essere continuamente deformato fino a un certo punto. In altre parole, $text{Rotazione}(D)$ è semplicemente connesso.

A causa del rapporto due a uno di $text{Rotazione}(D)$ a $SO(D)$qualsiasi circuito chiuso in $SO(D)$ corrisponde a entrambi

  • Caso A: Un ciclo chiuso dentro $text{Rotazione}(D)$; in altre parole, un percorso da $g$ a $g$ in $text{Rotazione}(D)$. La mappa $L_1$ ovviamente ha questa forma.

  • Caso B: Un percorso da $g$ a $-g$ in $text{Rotazione}(D)$. La mappa $L_2$ ha questa forma, come mostrato nel post sopra citato.

Qui, $g$ denota una certa matrice nella data rappresentazione matriciale fedele di $text{Rotazione}(D)$. Il fatto che Spin($D$) è semplicemente connesso stabilisce immediatamente la prima affermazione, quindi il gruppo fondamentale di $SO(D)$ non può contenere più di due elementi. (A proposito, se $D=2$allora l'argomento fallisce perché il gruppo di copertura semplicemente connesso di $SO(2)$ non è una copertura due a uno.)

Per stabilire la seconda affermazione, dobbiamo dimostrare che il caso B non può essere continuamente deformato nel caso A. Ciò deriva dal fatto che la matrice $g$ in rotazione($D$) non può essere la matrice zero, quindi gli estremi del percorso nel caso B devono rimanere distinti gli uni dagli altri in rotazione($D$).

Complessivamente, questo dimostra che il gruppo fondamentale di $SO(D)$ ha esattamente due elementi per ogni $Dgeq 3$. La chiave dell'argomentazione è questa $SO(D)$ ha un rivestimento due a uno che è semplicemente collegato. Un modo di costruire questa copertura in modo esplicito è descritto nel post sopra citato.

Alla fine di questo articolo puoi trovare i commenti di altri creatori, hai anche il potere di lasciare i tuoi se lo desideri.



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