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Tutte le mappe $mathbb{R}^2 a a mathbb{R}^2$ con valori singolari fissi sono affini?

Ciao utente del nostro sito Web, abbiamo la soluzione alla tua domanda, scorri verso il basso e la troverai qui.

Soluzione:

Risposta modificata il 1° febbraio 2020:

Non è vero "localmente", nel senso che non è vero che l'affine $f$ che soddisfano questo sistema di PDE possono essere costruite su alcuni insiemi aperti in $mathbb{R}^2$. Questo sistema di PDE determinate del primo ordine è iperbolico, quindi esistono molte soluzioni locali. Tuttavia, si scopre (vedi sotto) che tutte le soluzioni $C^3$ con dominio uguale a $mathbb{R}^2$ sono affini. (La prova che fornisco di seguito non funziona per le soluzioni di regolarità inferiore).

Sia $Dsottoinsiememathbb{R}^2$ sia un $1$-connesso a un dominio aperto sul quale esiste un $C^3$ mappatura $f:Dtomathbb{R}^2$ il cui differenziale $mathrm{d}f$ ha valori singolari costanti e distinti $0 Perché $D$ è semplicemente connesso, si può scegliere un campo ortonormale di frame $E_1,E_2$ su $D$ tale che, in ogni punto $p´in D$, i vettori immagine $F_i(p) = mathrm{d}fbigl(E_i(p)bigr)$ sono ortogonali e soddisfano $|F_i(p)|=sigma_i$.

Sia $mega = (omega_1,omega_2)$ sia il doppio inquadramento su $D$ che è di tipo regolare $C^2$. Il $1$-forma $$eta_i = sigma_i,omega_i$ per $i=1,2$ hanno la proprietà che $(eta_1)^2+(eta_2)^2$ essendo la $f$-della metrica piatta su $mathbb{R}^2$ deve essere anch'essa una metrica piana.

Sia $Mega_{12}$ sia la connessione $1$-associata alla coframmentazione $omega$ cioè soddisfa le equazioni di struttura
$$
mathrm{d}omega_1 = -omega_{12}wedgeomega_2
qquad, testo, e qquad, testo
mathrm{d}omega_2 = omega_{12}wedgeomega_1,.tag1
$$

Scrivere ${omega_{12} = -kappa_1,omega_1 + kappa_2,omega_2$. La funzione $kappa_i$ è la curvatura dell'area $E_i$-della curva integrale. Poiché $Mega_{12}$ è $C^1$, così come le funzioni $kappa_i$. Un calcolo semplice mostra che le funzioni $1$-forma $$eta_{12}$ che soddisfa le corrispondenti equazioni di struttura
$$
mathrm{d}eta_1 = -eta_{12}wedgeeta_2
qquad, testo e qquad
mathrm{d}eta_2 = eta_{12}wedgeeta_1,.tag2
$$

è dato da
$$
eta_{12} = -(sigma_1/sigma_2),kappa_1omega_1
+ (sigma_2/sigma_1),kappa_2omega_2,.
$$

Da quando $sigma_1not=sigma_2$, le condizioni $mathrm{d}omega_{12} = mathrm{d}eta_{12}=0$ (che valgono perché la metrica del dominio e la metrica del $f$-della metrica del campo sono entrambe piatte) sono equivalenti a
$$
0 = mathrm{d}(kappa_i,omega_i) = bigl(mathrm{d}kappa_i - {kappa_i}^2,omega_{3-i}bigr)wedgeomega_i,qquad i = 1,2.tag3
$$

Proposizione:Se $D = mathbb{R}^2$, allora $kappa_1 ´equiv ´kappa_2 ´equiv 0$, e $f$ è una mappa affine.

Prova: Supponiamo che, ad esempio, $kappa_1$ sia non nullo in qualche punto $pinmathbb{R}^2$ e considerare il valore di $kappa_1$ lungo il percorso $E_2$ curva integrale attraverso $p$, che, poiché $E_2$ ha lunghezza unitaria, è necessariamente completo. Sia $p(s)$ sia il flusso di $E_2$ dal tempo $s$ a partire da $p = p(0)$. Allora la (3) implica che la funzione $lambda(s) = kappa_1bigl(p(s)bigr)$ soddisfa $lambda'(s) = lambda(s)^2$. Di conseguenza,
$$
kappa_1bigl(p(s)bigr) = frac{kappa_1bigl(p(0)bigr)}{1-kappa_1bigl(p(0)bigr)s}.
$$

Quindi $$ {kappa_1$ non può essere continuo lungo questa curva integrale, il che è una contraddizione. Quindi, $kappa_1$ e, analogamente, $kappa_2$ deve svanire in modo identico quando $D = mathbb{R}^2$. In particolare, $mathrm{d}omega_i = 0$, da cui si conclude facilmente che $f$ è affine. QED

Più interessante, a livello locale, è ciò che accade in prossimità di un punto dove $kappa_1kappa_2not=0$. (Esiste un'analisi simile quando uno dei due punti $kappa_i$ svanisce in modo identico, che può essere tranquillamente lasciata al lettore, ma si veda la nota alla fine). Si potrebbe anche assumere che $kappa_1kappa_2$ non è da nessuna parte che svanisce su $D$. Allora si può scrivere
$$
kappa_1, omega_1 = mathrm{d}u
qquad, testo e qquad
kappa_2, omega_2 = mathrm{d}v
$$

per qualche $C^2$ funzioni $u$ e $v$ su $D$, definito in modo univoco fino a costanti additive.

Scrittura $omega_1 = p, mathrm{d}u$ e $mega_2 = q,mathrm{d}v$ per alcune funzioni non vanificanti $p$ e $q$ si trova che le equazioni di struttura (1), con $mega_{12} = -mathrm{d}u + mathrm{d}v$ producono le equazioni
$$
p_v = - q qquadtext{e}qquad
q_u = -p.
$$

In particolare, si noti che $p_v$ è $C^1$ e $p_{uv}-p = 0$.

Al contrario, se $p$ è un qualsiasi valore non variabile $C^2$ su un dominio $D'$ nel dominio $uv$-che soddisfa l'equazione iperbolica $p_{uv}-p=0$ ed è tale che $p_v$ è anche nonvanishing su $D'$, allora il $1$-forma
$$
omega_1 = p, mathrm{d}u, quad omega_2 = -p_v, mathrm{d}v, qquad
omega_{12} = -mathrm{d}u+mathrm{d}vtag4
$$

soddisfano le equazioni di struttura di una metrica piana, e così pure
$$
eta_1 = sigma_1, p, mathrm{d}u, quad eta_2 = -sigma_2, p_v, mathrm{d}v, qquad
eta_{12} = -(sigma_1/sigma_2),mathrm{d}u+(sigma_2/sigma_1),mathrm{d}v.tag5
$$

In effetti, ora si vede che la $1$-forma
$$
begin{aligned}
alpha_1 &= cos(u{-}v), p, mathrm{d}u +sin(u{-}v), p_v, mathrm{d}v
alpha_2 &= sin(u{-}v), p, mathrm{d}u -cos(u{-}v), p_v, mathrm{d}v
fine{allineato}
$$

sono chiusi, e quindi possono essere scritti nella forma $alpha_i = mathrm{d}x_i $ per qualche $C^3$ funzioni $x_i$ su $D'$.
$$
(mathrm{d}x_1)^2 + (mathrm{d}x_2)^2 = (alpha_1)^2 + (alpha_2)^2 = (omega_1)^2 + (omega_2)^2
$$

e, quindi, definiscono una $C^3$ immersione $x = (x_1,x_2):D'tomathbb{R}^2$ che riporta la metrica piana standard su $mathbb{R}^2$ alla metrica $(omega_1)^2 + (omega_2)^2$ su $D'$.

Allo stesso modo, impostando $rho = sigma_2/sigma_1$ e
$$
begin{aligned}
beta_1 &= cos(u/rho{-}rho v),sigma_1,p,mathrm{d}u
+sin(u/rho{-}rho v),sigma_2,p_v,mathrm{d}v
beta_2 &= sin(u/rho{-}rho v), sigma_1, p, mathrm{d}u
-cos(u/rho{-}rho v),sigma_2,p_v,mathrm{d}v,
´fine{aligned}
$$

si trova che $mathrm{d}beta_i = 0$ e quindi esiste $C^3$ funzioni $y_i$ su $D'$ tale che $beta_i = mathrm{d}y_i$. Imposta $y = (y_1,y_2)$.

Limitazione a un sottodominio $D''subset D'$ su cui $x$ è $1$-to-$1$ sulla sua immagine $D = x(D'')$ produce un dominio su cui $x^{-1}:Dcode(01)$ è un $C^3$ diffeomorfismo. Ora impostiamo $f = ycirc x^{-1}:Dtomathbb{R}^2$ e si ha un $C^3$ soluzione del sistema PDE originale.

Questo determina completamente la struttura della "generica" soluzione locale di $C^3$ soluzioni.

Il caso in cui una delle $kappa_i$, diciamo, $kappa_1$ che svanisce in modo identico (in modo che le curve integrali corrispondenti siano linee rette) e l'altra che non svanisce può essere facilmente ridotta alla forma normale
$$
omega_1 = mathrm{d}u,qquad omega_2 = bigl(p(v)-ubigr), mathrm{d}v,qquad
omega_{12} = mathrm{d}vtag6
$$

dove, ora, $p$ è un $C^2$ funzione di $v$ e il resto dell'analisi passa sostanzialmente inalterato.

Vorrei proporre un semplice esempio locale:

Consideriamo la mappa in coordinate polari, da $mathbb C a mathbb C$ che prende un numero complesso $z=e^{2pi i theta}r$ a $e^{(sigma_1/sigma_2)cdot 2pi i theta}rsigma_2$.

(mi scuso per il precedente esempio sbagliato, ho confuso i valori singolari con gli autovalori.)

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