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Variazione dell'azione di Einstein-Hilbert senza riferimento a un grafico

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Soluzione:

Prima di tutto, non è chiaro cosa si voglia esattamente. Come in:

  • Volete un approccio che non utilizzi affatto le coordinate, ma che possa, per esempio, usare i frame?

  • Volete un approccio completamente "invariante" che non utilizzi assolutamente alcuna banalizzazione locale di qualsiasi fascio di fibre? Se sì, siete disposti a lavorare sugli spazi totali di tali fasci?

  • Volete un approccio che sia globale, indipendentemente da qualsiasi altra considerazione?

  • Si vuole un approccio che non usi indici, ma tutto il resto è valido?


Questo non mi è chiaro. In particolare, nonostante il fatto che il tuo problema con la risposta di Arnold Neumaier fosse che utilizzava i fotogrammi, ma l'esempio di elettrodinamica che hai fornito essenzialmente utilizza anch'esso i fotogrammi.

Perché? Perché se $Prightarrow M$ è un principale $testo{U}(1)$ con connessione principale di Ehresmann $omega$, allora quello che si chiama $A$ è essenzialmente definito come segue. Se $(U,varphi)$ è una sezione locale di $P$ ($U´subseteq M$ è il dominio e $varphi:Urightarrow P$ è la mappa), allora definiamo $A^{(U)}=-ivarphi^astomega$, valido in $U$. Dal momento che $omega$ è uno pseudotensore $1$-del tipo $testo{Ad}$ su $P$, questi pullback in quartieri sovrapposti non si inseriscono in un oggetto globale ben definito su $M$. In sostanza, usando $A$ è lo stesso che usare $$ {omega^a_{\}$ b}$ (le forme di connessione) in GR. Si noti anche che quindi $A$ è ben definito globalmente se e solo se $P$ ammette sezioni globali.


Detto questo, ci sono diversi approcci che si possono adottare per variare l'azione di Einstein-Hilbert in modo "invariante".

L'approccio geometrico globale:

La difficoltà maggiore consiste nel derivare la variazione dell'elemento di volume $đmu=sqrt{-g}d^4x$. La soluzione più semplice è naturalmente quella di espandere in coordinate locali, ma per ora vogliamo evitarlo. A parte lavorare direttamente su qualche fascio di fibre, credo che uno abbia bisogno di di usare almeno i fotogrammi.

Un motivo per cui è necessario utilizzare i frame è che una forma differenziale svanisce quando vi si inseriscono vettori linearmente dipendenti. Quindi se $đmu$ è una forma di volume e $X_1,.,X_n$ sono campi vettoriali, allora $$ đmu(X_1,.,X_n)neq 0Freccia a sinistra X_1,.,X_n text{è un insieme linearmente indipendente.} $$ Ma se questi $n$ campi vettoriali sono linearmente indipendenti, allora formano una cornice, essenzialmente.

La cosa migliore che possiamo fare è usare le cornici, ma solo in modo "passivo". Ad esempio, la forma del volume non è definita in termini di cornice, ma la cornice è usata per derivare relazioni.

Sappiamo che se $Omega$ è un qualsiasi $n$-e $đmu$ è una forma volume, allora esiste una funzione $alfa$ tale che $$ Omega=alfa đmu, $$ in particolare, poiché la variazione di $đmu$ è un $n$-c'è una forma $alfa$ tale che $$ delta đmu=alfa đmu. $$

Se $(e_1,.,e_n)$ è una cornice ortonormale orientata positivamente, allora si ha $đ´mu(e_1,.,e_n)=1$, quindi si ha $$ alpha=(delta đmu)(e_1,.,e_n). $$

Sebbene non sia il più rigoroso degli approcci, non è immorale o scorretto ottenerlo considerando un'espansione di Taylor del primo ordine. Sia $g_epsilon$ sia una famiglia di metriche a un parametro, $đmu_epsilon$ la corrispondente famiglia di forme di volume a un parametro, e $e_a^epsilon$ la corrispondente famiglia a 1 parametro di cornici ortonormali.

Si ha $g_epsilon(e^epsilon_a,e^epsilon_b)=eta_{ab}$ per tutti $epsilon$, quindi il $epsilon$-derivata a $0$ è $$0= delta g(e_a,e_b)+2g(delta e_a,e_b). $$ Poiché la $e_b$ sono vettori base, abbiamo $$ g(delta e_a,bullet)=-frac{1}{2}delta g(e_a,bullet), $$ quindi $$ delta e_a=-frac{1}{2}delta g(e_a,bullet)^sharp, $$ dove $$ ^sharp$ è "alzare un indice". In notazione indice, il risultato è $delta e^mu_a=delta g_{nu}^{ mu}e^nu_a$. Chiaramente questa espressione è lineare in $e_a$, quindi definiamo $A(e_a)=delta g(e_a,bullet)^sharp$ per essere questa mappa lineare.

Ora, sappiamo che $$ 1=đmu_epsilon(e_1^epsilon,.,e^epsilon_n) $$ per tutti$epsilon$ s. Se differenziamo a $epsilon=0$, otteniamo $$ 0=(deltađmu)(e_1.e_n)+đmu(delta e_1,.,e_n)+.+đmu(e_1,.,delta e_n). $$ Personalmente trovo difficile la valutazione dei termini diversi dal primo (che vogliamo esprimere), quindi invece di differenziare direttamente in corrispondenza di $epsilon=0$ espandiamo in una serie di Taylor troncata. Al primo ordine in $epsilon$, abbiamo $$ e_a^epsilon=e_a+epsilon A(e_a)=(1+epsilon A)e_a, $$ quindi al primo ordine in $$ abbiamo anche $$ 1=đmu_epsilon(e^epsilon_1,.,e^epsilon_n)=đmu_epsilon(e_1,.,e_n)det(1+epsilon A)=đmu_epsilon(e_1.e_n)(1+epsilontext{Tr}A) =(1+epsilonalpha)đmu(e_1.e_n)(1+epsilontext{Tr}A)=(1+epsilon alpha)(1+epsilontext{Tr}A)=1+epsilon(alpha+text{Tr}A)+O(epsilon^2), $$ quindi otteniamo $$alpha=-text{Tr}A=frac{1}{2}text{Tr}_gdelta g=-frac{1}{2}text{Tr}_gdelta g^ast, $$ dove $testo{Tr}_g$ è la traccia metrica (es. $h_{munu}mapsto h_{munu}g^{munu}$), e $g^{munu}$ è la metrica inversa/duale. Abbiamo utilizzato la nota relazione secondo cui le variazioni della metrica diretta e di quella inversa sono negative l'una dell'altra.

Abbiamo così ottenuto in un ragionevolmente modo invariante che $$delta đmu=-frac{1}{2}text{Tr}_gdelta g^ast đmu=-frac{1}{2}g_{munu}delta g^{munu}_ast đmu.$$

Per il resto della derivazione, utilizzerò la notazione astratta degli indici che è globale e priva di coordinate.

Sappiamo che (si veda Wald - Relatività generale per una derivazione) se $nabla^primo$ e $nabla$ sono due connessioni lineari, con il tensore della differenza $C: nabla^prime=nabla+C$, allora i corrispondenti tensori di curvatura sono correlati come $$ R^{primerho}_{sigmamunu}=R^rho_{sigmamunu}+2nabla_{[mu} C^rho_{nu]sigma}+2C_{[mu|lambda|}^{rho}C^lambda_{nu]sigma}. $$

In particolare, sia $nabla^epsilon$ sia la famiglia a 1 parametro delle connessioni Levi-Civita indotte dalla famiglia a 1 parametro delle metriche e $C^epsilon$ è la famiglia a 1 parametro dei tensori della differenza tra $nabla^epsilon$ e la connessione LC non perturbata. Allora $$ deltanabla=frac{d}{depsilon}nabla^epsilon |_{epsilon=0}=frac{d}{depsilon}left(nabla+C^epsilonright)_{epsilon=0}=frac{d}{depsilon}C^epsilon |_{epsilon=0}equivdeltaGamma, $$ e la $$ -di tensori di curvatura è $$ (R^{epsilon}){}^rho_{\sigmamunu}=R^rho_{sigmamunu}+2nabla_{[mu}(C^epsilon)^rho_{nu]sigma}+2(C^epsilon)^rho_{[mu|lambda|}(C^epsilon)^lambda_{nu]sigma}, $$
quindi $$ delta R^rho_{ sigmamunu}=nabla_mudeltaGamma^rho_{nusigma}-nabla_nudeltaGamma^rho_{musigma}. $$

Abbiamo così risolto il calcolo delle variazioni della connessione, del tensore di curvatura e della forma del volume senza utilizzare espansioni di coordinate locali o di frame. Il resto dei dettagli può essere completato da soli.

Ulteriori letture:

"Besse: Manifold di Einstein".

Questo è particolarmente consigliato se si odiano molto gli indici, poiché Besse non usa la notazione astratta degli indici, ma la notazione matematica standard. Tuttavia, non ricava la variazione della forma del volume, ma la lascia al lettore come esercizio. Le sezioni rilevanti sono Capitolo 1 - K: Prime variazioni dei campi di tensori di curvatura e Capitolo 4 - C: Curvatura scalare totale: Proprietà del primo ordine.

Approccio del quadro ortonormale:

Questo è stato trattato nella risposta di Arnold Neumaier, ed è l'approccio che più si avvicina nello spirito al vostro esempio di elettrodinamica. Noterò solo una cosa, che se vogliamo che il problema del valore iniziale in GR sia ben definito, vogliamo che lo spaziotempo sia globalmente iperbolico, il che implica che topologicamente $M=mathbb RtimesSigma$. Poiché $mathbb R$ è parallelizzabile, la parallelizzabilità di $M$ dipende dal fatto che il 3-manifold $Sigma$ è parallelizzabile o meno.

Per motivi fisici, desideriamo che lo spazio sia orientabile, quindi $Sigma$ dovrebbe essere orientabile. Tuttavia è noto che ogni 3-manifold orientabile è parallelizzabile Quindi, se questi requisiti fisicamente ragionevoli sono soddisfatti, allora gli spazi a 4 dimensioni sono parallelizzabili.

Pertanto, questi approcci alla GR basati su cornici ortonormali sono in realtà globali!

Ulteriori letture:

"Thirring: Corso di Fisica Matematica Vol. 2".

"Straumann: Relatività generale"

Anche i libri dei cultori della Loop Quantum Gravity, come Thiemann, Rovelli, Gambini ecc. tendono a trattare il principio d'azione per la GR attraverso i quadri ortonormali.

Approccio del fascio principale:

Si può considerare ogni campo tensoriale (su $M$) come una certa matrice di funzioni sul fascio di cornici di $M$ che soddisfano determinate proprietà di equivarianza.

Per esempio, negli approcci usuali, basati sui frame, un campo vettoriale è qualcosa di simile a $V^a(x)$. Ma queste componenti non dipendono solo dal punto del manifold $x$ ma anche da una cornice scelta in $x$. Quindi questi $V^a$ sono in realtà funzioni sul fascio di cornici: $$ V^a(x,e), $$ dove i punti del fascio di cornici $F(M)rightarrow M$ sono indicati come coppie $(x,e)$, dove $e$ è una cornice a $x$.

Queste funzioni definiscono un campo vettoriale se e solo se per qualsiasi $Lambdaintext{GL}(n,mathbb R)$, si ha la funzione $$ V^a(x,eLambda)=(Lambda^{-1})^a_{ b}V^b(x,e) $$ proprietà di equivarianza. Analogamente per altri campi tensoriali.

È importante notare che, nonostante gli indici e le componenti, queste funzioni sono globale e completamente invariante.

Si può sviluppare un calcolo tensoriale sul fascio di cornici che rispecchia essenzialmente il consueto calcolo tensoriale locale basato su indici sul manifold di base, ma è globale e totalmente indipendente da cornici e coordinate.

Ulteriori letture:

"David Bleecker: Teoria di Gauge e principi variazionali".

Questo libro tratta le teorie di gauge, la gravità e le teorie di gauge + gravità in modo completamente invariante e matematicamente preciso, utilizzando i fasci di fibre principali, compresi i principi di azione.

Esiste una derivazione simile, completamente covariante e
covariante e indipendente dalle coordinate delle equazioni di campo di Einstein
dall'azione di Einstein-Hilbert?

Sì. Una derivazione covariante e indipendente dalle coordinate dell'azione è riportata ad esempio nel
Capitolo 4.2 del libro di testo

W. Thirring, Course on Mathematical Physics, Vol.2,
Classical Field Theory, Springer, New York 1978.

La derivazione è elementare: Basta sostituire ogni campo con campo+variazione, elaborare i termini del primo ordine nella variazione, usare l'integrazione per parti e leggere le equazioni del moto. Ogni passo è elementare, covariante e privo di coordinate, quindi l'intera derivazione lo è.

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