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Varietà di Albanese su campi non perfetti

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Soluzione:

La risposta è affermativa (nella formulazione di Serre tramite spazi omogenei principali) per schemi $X$ propri, geometricamente ridotti e geometricamente connessi su qualsiasi campo $k$, dando una forte proprietà di mappatura relativa al lavoro su tutti gli schemi $k$. Ovvero:

TeoremaEsiste una mappa $f:X rightarrow E$ a un torsore per una varietà abeliana $A$ su $k$ tale che per qualsiasi $k$-schema $S$ e qualsiasi $S$-map $F:X_S rightarrow T$ a un torsore per uno schema abeliano $B$ su $S$, esiste un'unica $S$-map $g:E_S rightarrow T$ tale che $g circ f_S = F$.

Osservazione. La necessità di assumere la connessione geometrica è illustrata nell'esempio che segue. Si tratta di un utile indebolimento dell'integralità geometrica (ad esempio, curve semistabili riducibili!), e la formulazione di Grothendieck nella sua esposizione di Bourbaki sembra accidentalmente non tener conto di questa ipotesi necessaria.

Osservazione. Nell'impostazione precedente, esiste una mappa unica di gruppi $S$ $A_S rightarrow B$ che rende $g$ equivariante per le rispettive azioni. In effetti, sosteniamo la stessa cosa per qualsiasi mappa di $S$ tra tori su $S$ per due schemi abeliani qualsiasi (non è necessario che uno di essi sia nato per cambio di base da $k$), e per discendenza è sufficiente dimostrare l'esistenza e l'unicità su una copertura fppf di $S$. Questo riduce il compito al caso dei tori banali, quindi l'affermazione è che se $B$ e $B'$ sono schemi abeliani su $S$ allora qualsiasi mappa di schemi di $S$ $F:B rightarrow B'$ (non necessariamente rispettando le sezioni di identità) è equivariante per una mappa unica tra gli schemi abeliani. Ma $F = t_{b'} circ f$ per $b' = F(e)$ e $f$ un omomorfismo $S$ (con $t_{b'}:x mapsto b'+x$), quindi tutto è chiaro.

La varietà abeliana $A$ risulta essere il duale della massima sottovarietà abeliana dello schema di Picard (eventualmente non ridotto e non perfetto) di $X$. L'unico riferimento bibliografico di cui sono a conoscenza è un'esposizione di Bourbaki di Grothendieck che tratta "solo" il caso degli schemi propri $k$ geometricamente normali. Al posto di questo, riporto qui di seguito la dimostrazione del risultato più generale, dopo aver rivisto quanto contenuto nell'articolo di Grothendieck (individuando anche il passaggio in cui non ha capito la necessità di un'ipotesi di connessione geometrica).

Per arrivare a questo risultato per gradi, torniamo per prima cosa al riferimento iniziale su questo argomento: il caso di schemi che sono propri e geometricamente normali (e per forza di cose anche geometricamente connessi, come verrà spiegato più avanti) su qualsiasi campo è trattato nel TDTE VI di Grothendieck, Seminaire Bourbaki Expose 236, Cor. 3.2 e Teorema 3.3 (in particolare la parte (iii), dove $A$ è un'unità di misura. parte (iii), dove $A$ si riferisce allo schema abeliano senza nome della parte (i), come nella discussione appena prima del Teorema 3.3, e non ha nulla a che fare con $A$ della parte (ii), che non è definito lì ma è l'anello di coordinate di uno schema locale $S$).

In questi risultati Grothendieck è assumendo l'esistenza di certi schemi di Picard e di schemi abeliani duali (che ovviamente conosceva in molti casi), e si propone di dimostrare una proprietà di mappatura più forte per l'Albanese (su schemi generali di $k$, non solo su $k$ o su sue estensioni di campo). Le ipotesi di esistenza che Grothendieck fa su Pic e sullo schema abeliano duale nelle sue affermazioni 3.2 e 3.3 sono state ovviamente dimostrate da lui stesso nel caso proiettivo e geometricamente integrale. Di seguito commenteremo la verifica di tali ipotesi di esistenza in modo più ampio.

Si noti che nel Corollario 3.2 quando Grothendieck scrive "normal et proper sur $k$" intende che "sur $k$" qualifichi anche la normalità (e non solo la correttezza), con normalità "su $k$" che significa per definizione ciò che oggi viene chiamato "geometricamente normale" su $k$. Si può vedere questo intento dall'uso di 2.1(ii) nella sua prova (anche se è coerente con Cor. 6.7.8(vi) e Def. 6.8.1(vi) in EGA IV$_2$, dove la terminologia "normale su $k$" è introdotta con lo stesso significato).

Le prove in TDTE VI (come in altre esposizioni di TDTE) sono talvolta solo abbozzate, come nel caso di 3.3(iii). La ragione dell'ipotesi di normalità geometrica in 3.2 è quella di garantire, tramite il criterio valutativo di adeguatezza, che ${rm{Pic}}^0_{X/k}$ sia adeguato, nel qual caso si può usare la sua torsione etale finita $n$ per tutti gli $n$ non divisibili per ${rm{char}(k)$ per dimostrare che lo schema ridotto sottostante a questo schema commutativo di tipo finito di $k$ gruppi è uno schema liscio di $k$ sottogruppi (quindi una varietà abeliana).

L'esistenza di Pic$_{X/k}$ come schema localmente finito di tipo $k$ per $X$ proprio (non solo proiettivo) e geometricamente ridotto su un campo $k$ è stata dimostrata indipendentemente da Murre e Oort (se ricordo bene), ma anche recuperato più tardi da Artin come caso speciale dei suoi risultati di esistenza su schemi di base generali per Pic come spazio algebrico quasi separato e localmente di presentazione finita sulla base (insieme al fatto che un gruppo di spazi algebrici localmente di tipo finito su un campo è uno schema, che è una conseguenza del risultato di Knutson secondo cui ogni spazio algebrico quasi-separato localmente noetheriano contiene un sottospazio aperto denso che è uno schema, combinato con attenti argomenti di traslazione su estensioni finite del campo).

Nel teorema 3.3(iii) Grothendieck deve assumere l'esistenza di uno schema abeliano duale. Su un campo (tutto ciò che serve) questo era ovviamente noto all'epoca in generale, poiché gli schemi abeliani su campi sono proiettivi. In generale è dovuto indipendentemente a Raynaud e Delinge, ed è dimostrato tramite tecniche di spazio algebrico all'inizio del libro di Faltings e Chai. In generale, quest'ultimo argomento dimostra che se $B rightarrow S$ è uno schema abeliano, allora il gruppo di spazi algebrici localmente finitamente presentato ${rm{Pic}}_{B/S}$ è $S$-separato (usando il criterio valutativo) e l'unione delle sue componenti identitarie fibrali è un sottogruppo $S$ aperto e chiuso ${rm{Pic}^0_{B/S}$ che è lo schema abeliano duale, denotato $B^{vee}$.

Il risultato è che se un $k$-proper $X$ è geometricamente ridotto su $k$, allora le ipotesi di esistenza di Grothendieck su Pic su $k$ e sugli schemi abeliani duali su qualsiasi schema $k$ sono verificate (e tali oggetti su $k$ producono ovviamente analoghi oggetti rappresentativi dopo il cambio di base a qualsiasi schema $k$). Ma che dire dell'ipotesi di normalità geometrica imposta in Cor. 3.2?

Grothendieck vuole costruire una sottovarietà abeliana $C subset P := {rm{Pic}}_{X/k}$ tale che ogni omomorfismo a $P_S$ da uno schema abeliano sia fattorizzato attraverso $C_S$. Il duale di tale $C$ risulterà soddisfare la proprietà di Albanese desiderata (per ragioni che spiegheremo in seguito, utilizzando l'ulteriore condizione di connessione geometrica per $X$ su $k$). Egli segue la strategia naturale di cercare le condizioni per cui $P^0_{rm{red}} è uno schema liscio di $k$ sottogruppo di $P^0$ che è proprio e quindi è una varietà abeliana, nel qual caso ciò andrebbe bene (come si vede da considerazioni sulla densità schematica relativa dei livelli di torsione etale finita negli schemi abeliani Zariski-localmente sulla base, o per altri motivi tramite $P^0/P^0_{rm{red}}$). È questa strategia che lo porta a imporre la condizione di normalità geometrica su $X$.

Ma possiamo fare di meglio, assumendo solo che $X$ sia proprio e geometricamente ridotto e geometricamente connesso. Ciò comporta l'applicazione del seguente risultato a ${rm{Pic}}_{X/k}$.

Proposizione. Sia $G$ uno schema di gruppo commutativo localmente di tipo finito su un campo $k$. Sia $C subset G$ la massima sottovarietà abeliana. Per qualsiasi schema $k$ e schema abeliano $B$ su $S$, qualsiasi omomorfismo $B rightarrow G_S$ è fattorizzato attraverso $C_S$.

Prima di dare la prova, avvertiamo che $G_{rm{red}}$ non è generalmente un sottogruppo $k$ di $G$ (quando $k$ non è perfetto e $G$ non è liscio), anche se $G$ è geometricamente connettivoed; Si veda l'Esempio 1.3.2(2) in Exp. VI$_{rm{A}}$ della SGA3 per l'esempio affine commutativo di Raynaud su qualsiasi campo imperfetto.
Inoltre, poiché ogni quoziente di una varietà abeliana per uno schema di sottogruppi chiusi è una varietà abeliana, vediamo che tale $C$ massimo esiste per ragioni dimensionali (e ogni sottovarietà abeliana è contenuta nella componente identità $G^0$ che è di tipo finito). Naturalmente, non si ha idea della dimensione di $C$ e nemmeno della sua non banalità in generale.

Prova. Il lavoro principale consiste nel dimostrare che la formazione di tale $C$ commuta con qualsiasi estensione del campo terreno. Equivalentemente, dopo essere passati a $G/C$, sosteniamo che se $C=0$ allora $G_K$ non contiene alcuna sottovarietà abeliana non nulla per qualsiasi campo di estensione $K/k$. Per discesa di Galois è chiaro che la massima sottovarietà abeliana di $G_{k_s}$ svanisce. Per qualsiasi $K/k$, sia $B subset G_K$ una sottovarietà abeliana. Vogliamo dimostrare che $B=0$. Possiamo fare in modo che $K$ sia separabilmente chiuso e quindi contenga $k_s$, quindi ai fini della dimostrazione di $B=0$ possiamo assumere $k=k_s$.

Per ogni $n > 0$ non divisibile per ${rm{char}}(k)$, $B[n]è un sottogruppo di $G_K[n]=G[n]_K$, e $G[n]è un gruppo etale finito di $k$ poiché è ucciso da $n$. Quindi, $G[n]$ è costante poiché $k=k_s$, quindi $B[n]scende in modo univoco a un sottogruppo $k$ $H_n subset G[n]$. Sia $H subset G$ la chiusura Zariski dell'insieme di $H_n$. La formazione di $H$ commuta con l'estensione del campo terreno, quindi è chiaro che $H_K = B$. Quindi, $H$ è un sottogruppo $k$ di $G$ che è una varietà abeliana, quindi $H=0$ e quindi $B=0$.

Ora lasciamo che $S$ sia uno schema $k$ e che $f:B rightarrow G_S$ sia un omomorfismo di $S$ da uno schema abeliano $B$ su $S$. Vogliamo che questo sia fattorizzato attraverso $C_S$. Componendo con la mappa naturale per $(G/C)_S$ che rappresenta il quoziente fppf di $G_S$ modulo $A_S$, possiamo sostituire $G$ con $G/C$ in modo che $C=0$. Quindi, per tutti gli $s ´in S$ lo schema di gruppi $k(s)$ $G_s$ non contiene alcuna sottovarietà abeliana non nulla su $k(s)$, grazie alla compatibilità con l'estensione del campo terreno discussa in precedenza.
In particolare, la mappa $f_s: B_s rightarrow G_s$ svanisce per tutti gli $s in S$ poiché $B_s/(ker f_s)$ è una varietà abeliana che è un sottogruppo $k(s)$ di $G_s$. Ma allora dal Corollario 6.2 del GIT (dopo essere passati al caso in cui $S$ è noetheriano, come possiamo certamente fare) segue che $f=0$!

Proposizione QED

Ora siamo pronti a dimostrare il Teorema enunciato all'inizio. La prima cosa da ricordare è che qualsiasi torsore $E$ per una varietà abeliana $A$ su $k$ ha ${rm{Pic}}^0_{E/k}$ canonicamente isomorfo alla varietà abeliana duale $A^{vee}$. Infatti, possiamo scegliere un'estensione galois finita $k'/k$ in modo che $E(k')$ sia non vuota, quindi $E_{k'} simeq A_{k'}$ come torsori, ben definiti fino alla traslazione di $A_{k'}$ su $A_{k'}$. Ma l'effetto della traslazione di $A_{k'}$ su $A_{k'}$ fa sì che $A_{k'}$ agisca sullo schema del gruppo $k'$ ${{rm{Pic}}_{A_{k'}/k'}$, e tale azione è banale poiché $A_{k'}$ è liscio e connesso e ${rm{Pic}}^0_{A_{k'}/k'}$ è una varietà abeliana (quindi il suo schema di automorfismo come $k'$-gruppo è etale e quindi non riceve alcun omomorfismo non banale da una varietà abeliana). Ne consegue che l'isomorfismo di ritorno $A^{vee}_{k'} = {rm{Pic}}^0_{A_{k'}/k'} simeq {rm{Pic}}^0_{E_{k'}/k'} = ({rm{Pic}}^0_{E/k})_{k'}$ è indipendente dalla scelta del punto in $E(k')$ che sottende l'isomorfismo torsoriale con $A_{k'}$. Pertanto, l'isomorfismo composito di pullback è equivariante per i dati di discesa di Galois su entrambi i lati e quindi discende a un isomorfismo di $k$ $A^{vee} simeq {rm{Pic}}^0_{E/k}$ che è indipendente da tutte le scelte.

Il risultato di avere l'isomorfismo canonico $A simeq {rm{Pic}}^0_{E/k}$ è che $A$ non è un "dato extra" nell'enunciato del teorema, ma piuttosto è canonicamente determinato da $E$. Utilizzando la topologia etale al posto della teoria di Galois, la stessa argomentazione dimostra che per qualsiasi torsore $T$ di uno schema abeliano $B$ su uno schema $S$, lo spazio algebrico ${rm{Pic}}_{T/S}$ contiene un unico sottogruppo $S$ aperto e chiuso ${rm{Pic}}^0_{T/S}$ con fibre (geometricamente) connesse e che questo sottogruppo $S$ è canonicamente isomorfo allo schema abeliano duale $B^{vee}$, quindi in particolare è uno schema. (Qualsiasi azione di uno schema abeliano su un altro schema abeliano su una base qualsiasi è banale, a causa della banalità locale sulla base per l'azione sui livelli di torsione etale finiti che sono collettivamente relativamente densi schematicamente nel senso di EGA IV$_3$, 11.10).

Per l'efficacia della discesa di Galois per gli schemi (quasi-)proiettivi di $k$ (come $E$, qualunque esso sia) è sufficiente dimostrare il Teorema dopo aver effettuato un'estensione Galois finita preliminare su $k$. In questo caso utilizziamo l'osservazione precedente che qualsiasi $g$ come nel Teorema determina un unico $omorfismo $A_S rightarrow B$ su cui $g$ è equivariante. Costruiremo il desiderato $A$ come duale della massima sottovarietà abeliana $C$ di ${rm{Pic}}_{X/k}$.

È a questo punto che sorge la necessità di una connessione geometrica, e per chiarirla evitiamo per un attimo di usare questa condizione. Quindi
facendo un'opportuna estensione Galois finita su $k$ possiamo fare in modo che lo schema $k$ geometricamente ridotto (e quindi genericamente liscio!) $X$ abbia la forma $coprod X_i$ con ogni $X_i$ non solo geometricamente ridotto ma anche geometricamente connesso e con un punto $k$ $x_i in X_i$.
Fissiamo tali scelte di $x_i$ (un espediente ausiliario nella prova, non parte dell'enunciato del Teorema).

Qualsiasi $S$-mappa $F:coprod (X_i)_S = X_S rightarrow T$ a un torsore per uno schema abeliano $B$ ha quindi $T$ identificato canonicamente con $B$ usando la sezione $F((x_1)_S)$, e lo stesso vale per la ricercata $k$-mappa universale $f:coprod X_i = X rightarrow E$. A condizione che ci sia un solo $X_i$ (cioè che l'originale $X$ sia geometricamente connesso su $k$), il nostro compito si riduce all'analogo del Teorema utilizzando schemi abeliani e mappe a punta (con $x_1 in X(k)$) piuttosto che tori per schemi abeliani. È proprio in questo passaggio che la connessione geometrica è essenziale, perché altrimenti rendere $(X_1)_S rightarrow T$ una mappa appuntita identificando $T$ con $B$ tramite l'immagine di $(x_1)_S$ non avrebbe alcun impatto sul rendere appuntite le $S$-mappe risultanti $(X_i)_S rightarrow B$ (ed è proprio qui che si insinuano controesempi al Teorema in assenza di connessione geometrica su $k$; si veda l'Esempio alla fine).

Ora $X = X_1$ e rinominiamo $x_1$ come $x$. Esiste un fascio di rette universale $x$ rigato $L$ su $X ´e P$, quindi per qualsiasi schema abeliano $B$ le mappe a punta $S$ $F: X_S rightarrow B = {rm{Pic}}^0_{B^{vee}/S}$ corrispondono esattamente a classi di isomorfismi di fasci di linee $x$-rigidificate $M$ su $X_S times B^{vee}$ che sono banalizzati lungo $X_S times {0}$. Quest'ultima banalizzazione è unico se si richiede (come si può fare, tramite una scalatura di $O(X_S)^{empi}$) che sia in accordo con l'effetto della rigidità di $x$ lungo il punto $S$ $(x_S,0)$. Pertanto, tali dati corrispondono esattamente a una mappa $S$ appuntita $B^{vee} rightarrow {rm{Pic}}_{X_S/S} = P_S$ ($P := {rm{Pic}}_{X/k}$). Una tale mappa è un $omorfismo di $S$ per il Corollario 6.4 del GIT, quindi se $C$ denota la massima sottovarietà abeliana di $P$ (tramite la Proposizione precedente), allora tali mappe corrispondono esattamente a $omorfismi di $S$ $B^{vee} rightarrow C_S$.
Ma per la doppia dualità per gli schemi abeliani, queste corrispondono esattamente agli omomorfismi $C^{vee}_S rightarrow B$. Svolgendo questa procedura si ottiene il risultato con $A := C^{\vee}$.

Teorema QED

Esempio. Consideriamo $X = {rm{Spec}}(k')$ per un'algebra etale finita $k$ che ha grado $> 1$, quindi è geometricamente ridotta (e anche geometricamente normale) su $k$ ma non geometricamente connessa. Sosteniamo che la conclusione del Teorema non può valere per tale $X$ su $k$. Infatti, se esistesse un universale $f:X rightarrow E$ su $k$
con la proprietà descritta nel Teorema (per tutti gli schemi di $k$), essa manterrebbe questa proprietà anche dopo l'estensione scalare a un'estensione separabile finita di $k$ che divide $k'$.

Cioè, è sufficiente dimostrare che il teorema non può valere quando $X$ è un'unione disgiunta di $d>1$ copie di ${rm{Spec}}(k)$. Etichettando i punti come $x_1, dots, x_d$, nel contesto delle proprietà di mappatura possiamo usare l'immagine di $x_1$ per banalizzare i torsori e quindi escluderla dalla considerazione usando mappe a punta per schemi abeliani. Basta cioè dimostrare che se $Y$ è un'unione disgiunta di $d-<1>0$ copie di ${rm{Spec}}(k)$ non esiste una mappa $k$ $f: Y rightarrow A$ ad una varietà abeliana su $k$ tale che per qualsiasi schema $k$ $S$ qualsiasi $S$-map $F:Y_S rightarrow B$ ad uno schema abeliano $B$ su $S$ fattorizzi in modo univoco attraverso un $S$-omorfismo $A_S rightarrow B$. Ma $F$ non è nient'altro che i dati di un punto $S$ di $B^{d-1}$, e il nostro obiettivo è dimostrare che non esiste una varietà abeliana $A$ su $k$ dotata di un punto $a in A^{d-1}(k)$ con la magica proprietà che ogni punto $S$ di $B^{d-1}$ ha la forma $g^{d-1}(a_S)$ per un unico $omorfismo $g:A_S rightarrow B$. Anche limitandoci a $S = {rm{Spec}}(overline{k})$ e variando $B$, è chiaro che non esiste una tale coppia sorprendente $(A, a)$.

Gli argomenti di Serre possono essere applicati a qualsiasi campo separabile chiuso. Il risultato nel caso generale può essere dedotto utilizzando la discesa di Galois. I dettagli si trovano nella Sezione 2 e nell'appendice di:

Olivier Wittenberg - Sui tori di Albanese e l'ostruzione elementare.

In particolare si dimostra l'esistenza del torsore di Albanese e della varietà di Albanese per qualsiasi varietà geometricamente integrale $X$ su qualsiasi campo $k$.

Si noti che quando si ha a che fare con varietà non perfette, la varietà di Albanese è solitamente definita come una varietà semi-eliana, piuttosto che come una semplice varietà abeliana.

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